RESIDUI QUADRATICI

Il resto della divisione di un quadrato esatto per un numero primo P si chiama RESIDUO QUADRATICO di P. Ad esempio 64 (8×8) diviso per 29 (numero primo) fa 2 con resto 6, allora potremo dire che 6 è un residuo quadratico di P.
Tutti i numeri primi P hanno (P-1)/2 residui quadratici e (P-1)/2 non residui quadratici. Riconsiderando il nostro numero primo 29, avremo:
Residui quadratici di 29:
1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28. (14 residui).
Non residui quadratici di 29:
2,3,8,10,11,12,14,15,17,18.19.21.26,27. (14 non residui).
Esiste un metodo per verificare se un numero intero qualsiasi sia residuo o non residuo quadratico di un numero primo P: si calcola il resto della divisione per P di questo numero elevato a (P-1)/2. Se questo resto è 1, allora il numero è residuo quadratico di P; se questo resto è (P-1), allora questo numero è un non residuo quadratico di P.
Ad esempio, il resto della divisione per 29 di 2 elevato alla 14 è 28, per cui 2 è non residuo quadratico di 29. Invece il resto della divisione per 29 di 5 elevato alla 14 è 1, per cui 5 è un residuo quadratico di 29.
Tutti i numeri primi si dividono in due grandi famiglie: quelli della forma 4n+1 e quelli della forma 4n+3.
Ad esempio 29 è della forma 4n+1 perchè 29 = 4×7 + 1, mentre 43 è della forma 4n+3 perchè 43 = 4×10 + 3. Orbene, se P è un numero primo della forma 4n+1, allora, se a è un suo residuo quadratico, (P-a) sarà anche un suo residuo quadratico. Invece, se P è un numero primo della forma 4n+3, allora, se a è un suo residuo quadratico, (P-a) sarà un suo non residuo quadratico.
Per esempio 5 è un residuo quadratico di 29 (4×7 + 1), per cui (29-5) = 24 sarà anch’esso un residuo quadratico di 29.
Da questa proprietà deriva il fatto che, se P è un numero primo della forma 4n+1, allora è esprimibile in uno ed un solo modo come somma di due quadrati esatti, mentre, se P è un numero primo della forma 4n+3, allora non sarà mai esprimibile come somma di due quadrati esatti.
Una delle scoperte più affascinanti della Matematica è la legge della reciprocità quadratica. Essa afferma che le caratteristiche quadratiche di due numeri primi P e Q sono eguali tranne nel caso che i due numeri siano entrambi della forma 4n+3.
Ad esempio 13 è residuo quadratico di 29, allora anche 29 è residuo quadratico di 13, perchè sono entrambi della forma 4n+1. 19 è un non residuo quadratico di 43, allora 43 è un residuo quadratico di 19 perchè sono entrambe della forma 4n+3. 29 è un residuo quadratico di 83, allora 83 è un residuo quadratico di 29 perchè non sono entrambi della forma 4n+3.
“La Matematica è la regina delle scienze e la Teoria dei numeri è la regina delle Matematiche” (Carl Friedrich Gauss).