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Archivi tag: matematica
RELAZIONI NOTEVOLI TRA POTENZE DI INTERI
Nel 1769 il grande matematico Eulero (Leonhard Euler) enunciò la congettura che, se la somma di k potenze n-esime è uguale ad una potenza n-esima, allora k deve essere maggiore o uguale ad n. In epoca moderna la congettura è … Continua a leggere
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ZERO VIRGOLA INFINITI NOVE E’ UGUALE AD UNO ?
Zero virgola infiniti 9 è uguale ad 1. 0,99999999999999….. = 1 Guardando a prima vista questa identità, potrebbe sembrare una banalità, ma, se cominciamo a meditarci un po’ sopra, la nostra mente potrebbe entrare in cortocircuito …. Il fatto è … Continua a leggere
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FORME QUADRATICHE (TEORIA DEI NUMERI)
Consideriamo la famosa polinomiale di Eulero che genera esclusivamente numeri primi inserendo, al posto della x, i numeri interi consecutivi da 0 a 39: x² + x + 41 I numeri primi generati sono: 41, 43, 47, 53, 61, 71, … Continua a leggere
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I NUMERI IMMAGINARI
Se ci chiedono “qual è quel numero che, moltiplicato per se stesso, fa 25 ?”, rispondiamo immediatamente “è 5”. In realtà c’è anche un altro numero che, moltiplicato per se stesso fa 25 ed è – 5, infatti, dato che … Continua a leggere
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CONGRUENZA QUADRATICA BINARIA X² ≡ A (MODULO P Numero primo)
X² ≡ A (MODULO P Numero primo) Risolvere questa congruenza significa trovare, se esiste, un quadrato esatto tale che il resto della sua divisione per il numero primo P, sia A. Ricordiamo che, in Teoria dei Numeri, si definisce residuo … Continua a leggere
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IL QUADRATO MAGICO DI DURER
Albrecht Durer è uno dei massimi esponenti della pittura rinascimentale tedesca. Egli era però anche un grande incisore e, come metodo di stampa per le sue incisioni, prediligeva la Xilografia. La sua Xilografia più celebre è senz’altro la “Melencolia I”, … Continua a leggere
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DIVISIONE PER ZERO E PER INFINITO
Spesso si sente dire che un numero diviso zero “fa” infinito e che un numero diviso infinito “fa” zero. In realtà, dividendo un numero per un numero sempre più piccolo, si ottiene un risultato sempre più grande, ma pur sempre … Continua a leggere
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EQUAZIONE DI MORDELL
Più che un articolo, questo è un invito alla ricerca. L’equazione di Mordell è la seguente equazione diofantea: x² – y³ = k Nella quale x, y e k sono tre numeri interi. In pratica, fissato k, si tratta di … Continua a leggere
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NUMERI SOMMA DI TRE QUADRATI CONSECUTIVI
I numeri somma di tre quadrati esatti consecutivi hanno forma: N = 3X² + 2 Infatti: (X – 1)² + X² + (X + 1)² = X² – 2X + 1 + X² + X² + 2X + 1 = … Continua a leggere
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LE RADICI DELL’UNITA’
Se ci chiedono “qual è la radice quadrata di 9?”, la maggioranza di noi risponde immediatamente “3” ed è giusto, infatti 3² = 9. Ma se riflettiamo un poco, aggiungiamo “un momento, c’è anche -3”, infatti anche (-3)² fa 9. … Continua a leggere
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IL NUMERO DI EULERO (e)
Il Numero di Eulero (e), detto anche Numero di Nepero, è, insieme a pi greco, una delle più importanti costanti della Matematica. Come pi greco, questo numero è irrazionale (non può essere espresso sotto forma di frazione) e trascendente (non … Continua a leggere
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COMPLEMENTI AI NUMERI TRIANGOLARI
In questa nota aggiungiamo alcuni complementi all’articolo sui Numeri Triangolari: https://giuseppemerlino.wordpress.com/2010/12/30/numeri-triangolari/ Qui ci limitiamo a ricordare che un Numero Triangolare S(n) è la somma dei primi n numeri naturali ed è espresso dalla formula: S(n) = n(n + 1) / … Continua a leggere
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LA SEZIONE AUREA
Il significato originale di “sezione aurea” indica un particolare modo di dividere in due parti un segmento. Consideriamo un segmento AC. Sia B un punto tale che il segmento AB sia medio proporzionale tra AC e BC, cioè: AC : … Continua a leggere
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LA SPIRALE DEI NUMERI PRIMI
La spirale dei numeri primi, nota come spirale di Ulam, è una particolare costruzione che mette in evidenza alcune inaspettate regolarità nella distribuzione dei numeri primi. Si consideri una griglia rettangolare e si dispongano i numeri naturali interi come segue: … Continua a leggere
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L’IPOTESI DI RIEMANN
In questa nota useremo il simbolo ^ per indicare “elevato a” ed il simbolo * per indicare la moltiplicazione. Eulero chiamò funzione zeta la somma infinita: Zeta(x) = 1 + 1/(2^x) + 1/(3^x) + 1/(4^x) + 1/(5^x) + 1(6^x) + … Continua a leggere
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GENERATRICI ALGEBRICHE DI NUMERI PRIMI
Trovare una funzione che generi tutti i numeri primi o infiniti numeri primi sembra proprio un sogno irrealizzabile. Qui riportiamo le più note funzioni che generano un certo numero di numeri primi consecutivi. (per “numeri primi consecutivi” intendiamo solo numeri … Continua a leggere
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NUMERI PRIMI DI SOPHIE GERMAIN
Un numero primo P viene detto numero primo di Sophie Germain se anche il numero 2P + 1 è primo. Ad esempio, 41 è un numero di Sophie Germain in quanto 2×41 + 1 = 83 è anch’esso un numero … Continua a leggere
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CALCOLO COMBINATORIO: PERMUTAZIONI, COMBINAZIONI, DISPOSIZIONI
PERMUTAZIONI SEMPLICI: Consideriamo un insieme di 4 elementi (a,b,c,d). Disponiamo questi 4 elementi in tutti i modi possibili: abcd abdc acbd acdb adbc adcb bacd badc bcad bcda bdac bdca cabd cadb cbad cbda cdab cdba dabc dacb dbac dbca … Continua a leggere
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EQUAZIONI DIOFANTEE NOTEVOLI
In questa breve nota daremo alcune soluzioni di equazioni diofantee di grado superiore al primo. Innanzitutto ricordiamo brevemente la soluzione che riguarda le terne pitagoriche: A² = B² + C² Soluzione: A = M² + N² B = M² – … Continua a leggere
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QUADRATI IN PROGRESSIONE
Nella successione dei quadrati esatti: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169 ….. si possono trovare delle terne di quadrati esatti (A², B², C²) che sono in progressione aritmetica cioè tali che: (B² – … Continua a leggere
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FRAZIONI GENERATRICI DI NUMERI PERIODICI
I numeri definiti dal rapporto di due numeri interi, e quindi esprimibili sotto forma di frazione, vengono chiamati “Numeri Razionali”. Possiamo suddividere i Numeri Razionali in tre categorie: 1) Numeri decimali limitati, nei quali la parte decimale ha un numero … Continua a leggere
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SOMME INFINITE
Si potrebbe pensare che, sommando infiniti termini, si ottenga un numero sempre più grande. Non sempre è così: talvolta si ottiene un valore finito. Ovviamente è impossibile sommare infiniti termini, ma, in questi casi, si vede che, più addendi si … Continua a leggere
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FRAZIONI APPROSSIMANTI RADICAL DUE
La radice quadrata di 2 è quel numero che, moltiplicato per se stesso, da 2. Questo è un numero irrazionale, cioè non può essere espresso sotto forma di frazione e la sequenza delle sue cifre decimali è infinita e non … Continua a leggere
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MATEMATICA E FILOSOFIA
Secondo l’Idealismo Platonico, le Entità matematiche esistono indipendentemente dalla mente umana. In effetti noi non inventiamo le relazioni matematiche, ma le “scopriamo”: esse esistono da sempre e certamente esistono da prima che noi ne prendiamo coscienza. Tutto l’Universo obbedisce a … Continua a leggere
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NUMERI DI ARMSTRONG
I numeri di Armstrong sono numeri tali che la somma delle n cifre che li costituiscono, ciascuna elevata ad n, è uguale al numero stesso. Per n = 3 esistono 4 numeri di Armstrong: 153 = 1³ + 5³ + … Continua a leggere
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ESPRESSIONE DI UN INTERO COME DIFFERENZA DI 2 QUADRATI ESATTI
ESPRESSIONE DI UN NUMERO INTERO COME DIFFERENZA DI 2 QUADRATI ESATTI: N = X² – Y² Se d è un divisore di N inferiore a √N, allora una soluzione di questa equazione sarà: X = (N + d²)/(2d) Y = … Continua a leggere
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CURIOSITA’ MATEMATICHE
La somma dei primi N numeri dispari consecutivi è un quadrato esatto ed è proprio N² : 1 + 3 = 4 = 2² 1 + 3 + 5 = 9 = 3² 1 + 3 + 5 + 7 … Continua a leggere
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SEQUENZE ALIQUOT
Una sequenza aliquot è una successione di numeri interi tale che ogni termine della serie è la somma dei divisori propri del termine precendente. I divisori propri di un numero sono tutti i divisori di quel numero, tranne il numero … Continua a leggere
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NUMERI PALINDROMI: IL MISTERO DEL NUMERO 196
Un numero palindromo è un numero che ha lo stesso valore sia letto da sinistra che da destra. Ad esempio sono numeri palindromi 1331, 52725, 89498 e 41814. I numeri palindromi non sono molto frequenti: fino ad un milione se … Continua a leggere
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RADICI PRIMITIVE DI UN NUMERO PRIMO
Chi non avesse dimestichezza con le congruenze, può leggere prima questa breve nota: https://giuseppemerlino.wordpress.com/2011/02/17/congruenze/ Sappiamo dal piccolo Teorema di Fermat che, se P è un numero primo, allora, per ogni intero a minore di P: a(P-1) ≡ 1 (modulo P) … Continua a leggere
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