Chi non avesse dimestichezza con le congruenze, può leggere prima questa breve nota:
https://giuseppemerlino.wordpress.com/2011/02/17/congruenze/
Sappiamo dal piccolo Teorema di Fermat che, se P è un numero primo, allora, per ogni intero a minore di P:
a(P-1) ≡ 1 (modulo P)
Cioè il resto della divisione di a(P-1) diviso P è sempre 1.
Per molte basi a, la congruenza:
aX ≡ 1 (modulo P)
ha soluzioni anche per x minore di (P-1), ma, in tal caso, x è sempre un divisore di (P-1).
Si definisce ordine di a modulo P il più piccolo esponente x tale che:
aX ≡ 1 (modulo P)
Se l’ordine di a modulo P è proprio (P-1), allora a si definisce radice primitiva di P.
Consideriamo ad esempio il numero primo 13. Avremo:
L’ordine di 2 modulo 13 è 12, per cui 2 è una radice primitiva di 13
L’ordine di 3 modulo 13 è 3
L’ordine di 4 modulo 13 è 6
L’ordine di 5 modulo 13 è 4
L’ordine di 6 modulo 13 è 12, per cui 6 è una radice primitiva di 13
L’ordine di 7 modulo 13 è 12, per cui 7 è una radice primitiva di 13
L’ordine di 8 modulo 13 è 4
L’ordine di 9 modulo 13 è 3
L’ordine di 10 modulo 13 è 6
L’ordine di 11 modulo 13 è 12, per cu 11 è una radice primitiva di 13
L’ordine di 12 modulo 13 è 2
Come si vede gli ordini 2, 3, 4 e 6 sono tutti divisori di 12, cioè di (P-1) = (13-1).
Il numero delle radici primitive di un numero primo P coincide con la funzione di Eulero di (P-1), cioè con il numero degli interi compresi tra 1 e (P-1) che non hanno fattori comuni con (P-1).
Nell’esempio precedente si vede che 13 ha 4 radici primitive e 12 ha 4 numeri con esso coprimi (1,5,7,11).
Se g è una radice primitiva di P, allora i numeri:
g1, g2, g3, …….. ,g(P-1) [modulo P]
corrispondono a tutti i numeri 1, 2, 3, 4, ….., (P-1), presi una sola volta, ma non in ordine.
E’ interessante notare che tutte le potenze pari di gN modulo P sono residui quadratici di P, mentre tutte le potenze dispari sono non residui quadratici di P.
Per il concetto di residuo e non residuo quadratico, si può vedere qui:
https://giuseppemerlino.wordpress.com/2010/10/25/residui-quadratici/
Gauss provò che il prodotto di tutte le radici primitive di un numero primo P maggiore di 3 è congruo ad 1 modulo P.
Non esiste un metodo per trovare la minima radice primitiva di un numero primo P. Solo per dare una idea al lettore, evidenziamo che:
13 ha minima radice primitiva 2, 17 ha 3, 23 ha 5, 71 ha 7, 1009 ha 11, 4441 ha 21, 33049 ha 29.
Le radici primitive sono anche collegate con il periodo della frazione 1 / P:
Se 10 è una radice primitiva di P (P>5), allora il periodo di questa frazione sarà lungo (P-1). Più in generale, la lunghezza del periodo di 1 / P sarà uguale all’ordine di 10 modulo P.
Nell’esempio precedente abbiamo visto che l’ordine di 10 modulo 13 è 6 e possiamo verificare che la lunghezza del periodo della frazione 1/ 13 è proprio 6:
1 / 13 = 0,(076923)076923076923076923…….
Infine ricordiamo la congettura di Artin che asserisce che, fissato un intero qualsiasi a (>1), esistono infiniti numeri primi P che hanno a come radice primitiva.
La distribuzione delle radici primitive di un numero primo P ed il perché un intero sia radice primitiva di P ed un altro no, resta uno dei misteri più affascinanti della teoria di Numeri.
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