NUMERI AMICI, PERFETTI E N. DI MERSENNE

UN NUMERO SI DICE PERFETTO QUANDO E’ EGUALE ALLA SOMMA DI TUTTI I SUOI DIVISORI PROPRI (CIOE’ ESCLUSO SE STESSO).
AD ESEMPIO 28 E’ DIVISIBILE PER 1,2,4,7,14 E RISULTA:
1+2+4+7+14 = 28.
I NUMERI PERFETTI SONO PIUTTOSTO RARI E PARE CHE SIANO TUTTI NUMERI PARI.
NON E’ PERO’ STATO ANCORA DIMOSTRATO CHE NON ESISTONO NUMERI PERFETTI DISPARI. NON SI SA NEANCHE SE IL LORO NUMERO SIA INFINITO.
GIA’ GLI ANTICHI GRECI CONOSCEVANO 4 NUMERI PERFETTI: 6, 28, 496 E 8128.
IL 5° NUMERO PERFETTO FU SCOPERTO NEL XV° SECOLO ED E’ 33550336.
NEL XVII° SECOLO IL MATEMATICO ITALIANO PIERANTONIO CATALDI SCOPRI’ IL 6° ED IL 7° NUMERO PERFETTO. NEL ‘900 IL NUMERO DEI NUMERI PERFETTI CONOSCIUTI ARRIVO’ A 12. IL 12° (UN NUMERO DI 77 CIFRE!) FU SCOPERTO, USANDO SOLO CARTA E PENNA, DAL MATEMATICO EDOUARD LUCAS NEL 1877.
ATTUALMENTE SONO CONOSCIUTI 39 NUMERI PERFETTI. IL 39° HA PIU’ DI 4 MILIONI DI CIFRE .
UNA NOTEVOLE PROPRIETA’ DEI NUMERI PERFETTI E’ CHE, TRANNE IL 6, SONO TUTTI SOMMA DI NUMERI DISPARI CONSECUTIVI ELEVATI AL CUBO:

28 = 1³ + 3³
496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³
8128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³

EUCLIDE NEL 300 AVANTI CRISTO DIMOSTRO’ IL SEGUENTE TEOREMA
(IL SIMBOLO ^ INDICA “ELEVATO A”)

SE 2^(n) – 1 E’ UN NUMERO PRIMO, ALLORA IL NUMERO [2^(n-1)]*[2^(n) -1] E’ UN NUMERO PERFETTO.

PER ESEMPIO, PER n = 3, SI HA:

2^(n) – 1 = 2³ – 1 = 8 – 1 = 7 = NUMERO PRIMO,

ALLORA:

[2^(n-1)]*[2^(n) -1] = [2²] * [2³ – 1] = 4 * 7 = 28 = NUMERO PERFETTO.

PER QUANTO DETTO ASSUMONO GRANDE IMPORTANZA I NUMERI PRIMI DELLA FORMA P = 2^(n) -1. QUESTI NUMERI VENGONO CHIAMATI “NUMERI DI MERSENNE”.
DUNQUE I NUMERI DI MERSENNE SONO I NUMERI PRIMI DELLA FORMA:

M = 2^n – 1

MARIN MERSENNE ERA UN TEOLOGO, FILOSOFO E MATEMATICO FRANCESE VISSUTO FRA IL 1588 ED IL 1648 ED APPARTENEVA ALL’ORDINE DEI FRATI MINORI. EGLI INSEGNO’ FILOSOFIA A NEVERS, MA POI RIENTRO’ A PARIGI DOVE SI DEDICO’ ALLA MATEMATICA ED EBBE CONTATTI CON CARTESIO E PASCAL.
EGLI SCOPRI’ LA NOTEVOLE PROPRIETA’ CHE:

SE 2^n – 1 E’ UN NUMERO PRIMO, ALLORA n E’ UN NUMERO PRIMO. SI BADI BENE, PERO’, CHE SE n E’ UN NUMERO PRIMO, CIO’ NON GARANTISCE AFFATTO CHE 2^n – 1 SIA UN NUMERO PRIMO.
I PRIMI NUMERI DI MERSENNE SONO:

M2 = 2^2 – 1 = 3
M3 = 2^3 – 1 = 7
M5 = 2^5 – 1 = 31
M7 = 2^7 – 1 = 127
M13 = 2^13 – 1 = 8191

I SUCCESSIVI NUMERI DI MERSENNE SONO:

M17, M19, M31, M61, M89, M107, M127 ………

ESISTE UNA ORGANIZZAZIONE INTERNAZIONALE CHE RICERCA I NUMERI DI MERSENNE: LA GIMPS. ESSA SI AVVALE DI RICERCATORI IN TUTTO IL MONDO E CHIUNQUE PUO’ PARTECIPARE (LA GIMPS METTE A DISPOSIZIONE UN APPOSITO SOFTWARE).
UN AGGIORNAMENTO DEL SETTEMBRE 2008 CI DICE CHE SONO STATI SCOPERTI IL 45° ED IL 46°NUMERO DI MERSENNE.

A QUESTO PUNTO E’ DOVEROSO UN CENNO SUI NUMERI AMICI:
I NUMERI AMICI (DETTI ANCHE NUMERI AMICABILI) SONO QUELLE COPPIE DI NUMERI INTERI TALI CHE LA SOMMA DEI DIVISORI PROPRI DELL’UNO E’ UGUALE ALL’ALTRO E VICEVERSA.
LA PIU’ PICCOLA COPPIA DI NUMERI AMICABILI E’ 220 – 284, INFATTI:
DIVISORI DI 220 = 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110 E LA LORO SOMMA E’ 284
DIVISORI DI 284 = 1, 2, 4, 71, 142 E LA LORO SOMMA E’ 220.
ALTRE COPPIE DI NUMERI AMICI SONO:
1184 – 1210
2620 – 2924
5020 – 5564