EQUAZIONE DI TERZO GRADO

L’equazione di terzo grado (detta anche equazione cubica) ha formula generale:

ax³ + bx² + cx + d = 0

Per il Teorema Fondamentale dell’Algebra, essa ha tre soluzioni.
L’equazione di terzo grado, come tutte le equazioni di grado dispari, ha sempre almeno una radice reale, come si può osservare dal suo andamento grafico in figura:

Se r, s e t sono le sue tre radici, l’equazione si annulla se x = r o se x = s o se x = t, cioè dovrà essere:

(x – r) (x – s) (x – t) = 0

Con semplici passaggi, si ottiene:

x³ – (r + s + t) x² + (rs + rt + st) x – rst = 0

Confrontando questa formula con l’equazione:

ax³ + bx² + cx + d = 0

notiamo subito che:

(b / a) = – (r + s + t) = soma delle radici cambiata di segno.
(d / a) = -rst = prodotto delle radici cambiato di segno.

Cioè, dividendo per a primo e secondo membro dell’equazione ax³ + bx² + cx + d = 0, si ottiene:

x³ – (soma delle radici) x² + (c/a) x – (prodotto delle radici) = 0

Questa osservazione può facilitare il reperimento di almeno una radice r dell’equazione per poi abbassarla di grado, dividendola per (x – r), ottenendo un’equazione di secondo grado le cui due radici saranno le altre due soluzioni della nostra equazione.
Per trovare una radice di un’equazione esistono vari metodi (Newton, secanti, regula falsi etc…), ma l’equazione di terzo grado può essere rigorosamente risolta attraverso un formula risolutiva che ci da tutte e tre le sue radici.
Questa formula, fulgido esempio di dove può arrivare l’ingegno umano, è conosciuta universalmente come “formula di Cardano”, ma la storia della sua scoperta è piuttosto complessa e non priva di liti e polemiche tra insigni matematici del Rinascimento.
Fin dall’antichità Indiani, Babilonesi, Greci ed Arabi avevano tentato invano di trovare questa formula risolutiva senza successo, anche se, in qualche caso, erano riusciti a risolvere equazioni di terzo grado di forme particolari ed incomplete.
Bisognerà giungere al Rinascimento italiano per arrivare alla scoperta di questa formula.
Oggi abbiamo una ricostruzione storica abbastanza chiara degli avvenimenti reali.
Il primo matematico che risolse l’equazione fu Scipione del Ferro (1456 – 1526) quasi sicuramente con la collaborazione di Luca Pacioli.
Egli però non pubblicò mai la formula perché all’epoca erano molto frequenti le sfide tra matematici su diversi problemi e Scipione preferiva vincere queste sfide usando la sua formula segreta anziché renderla pubblica.
Solo in punto di morte Scipione rivelò la formula ad un suo allievo, Antonio Maria del Fiore.
Questi ne approfittò subito per lanciare una sfida di 30 problemi al grande matematico Niccolò Fontana (1499 – 1557), detto Tartaglia, perché balbuziente in seguito ad un colpo di spada di un soldato francese.
Antonio Maria del Fiore ebbe una brutta delusione: Tartaglia vinse tutte e 30 le sfide !
E’ chiaro che anche Tartaglia aveva trovato la formula e che, anche lui, l’aveva tenuta segreta.
In effetti sia Scipione del ferro che Tartaglia avevano trovato la formula risolutiva per l’equazione di terzo grado incompleta, priva del termine di secondo grado:
x³ + px = q
Successivamente il grande matematico Girolamo Cardano (1501 – 1576) riuscì a farsi rivelare il segreto da Tartaglia, con la promessa che non l’avrebbe mai pubblicato.
Ma Cardano ebbe il grande merito di estendere la soluzione al caso generale dell’equazione completa, basandosi sul caso particolare risolto da Scipione del Ferro e da Tartaglia.
Venne meno al giuramento (in verità, per quanto detto, in parte giustificato) e pubblicò tutto nell’undicesimo capitolo della sua famosa opera Ars Magna, un vero capolavoro di Scienza Matematica.
Questa è la soluzione del caso particolare che Tartaglia inviò in versi a Cardano:
“Quando che’l cubo con le cose appresso se agguaglia à qualche numero discreto, trovan dui altri differenti in esso. Da poi terrai questo per consueto Che’llor produtto sempre sia eguale al terzo cubo delle cose neto, El residuo poi Suo generale delli lor lati cubi ben sottratti varrà la tua cosa principale”.
Ed ora veniamo al procedimento per giungere a questa formula.
La prima cosa da fare è trasformare l’equazione:

x³ + bx² + cx + d = 0

in un’equazione priva del termine di secondo grado e ciò lo si ottiene con la trasformazione:

x = y – b / 3a :

a(y – b/3a)³ + b(y – b/3a)² + c(y – b/3a) + d = 0

sviluppiamo le potenze:

a [y³ – 3(b/3a)y² + 3(b²/9a²)y – b³/27a³] + b [y² – 2(b/3a)y + b²/9a²] +cy –bc/3a +d = 0

proseguiamo nel calcolo:

ay³ – by² + (b²/3a)y – b³/27a² + by² – (2b²/3a)y + b³/9a² + cy – bc/3a +d = 0

Raggruppiamo le potenze di y:

ay³ + (-b + b) y² + (b²/3a – 2b²/3a + c)y – (b³/27a² – b³/9a² + bc/3a – d) = 0

Come si vede il termine di secondo grado scompare:

ay³ + (c – b²/3a)y – (bc/3a – 2b³/27a² – d) = 0

Dividiamo infine tutto per a:

y³ + (c/a – b²/3a²)y – (bc/3a² – 2b³/27a³ – d/a) = 0

y³ + (c/a – b²/3a²)y + (d/a – bc/3a² + 2b³/27a³) = 0

Siamo dunque giunti all’equazione:

y³ + py +q = 0

Nella quale:

p = (c/a – b²/3a²)
e
q = (d/a – bc/3a² + 2b³/27a³)

Per risolvere questa equazione, si introducono due variabili u e v, tali che:

y = u + v
p = -3uv

Sostituendo in y³ + py +q = 0
si ottiene l’equazione:

(u + v)³ -3uv(u + v) +q = 0

u³ + 3u²v + 3uv² + v³ – 3u²v -3uv² +q = 0

u³ + v³ = -q

Ricordando che p = -3uv, u e v saranno soluzione del sistema:

| u³ + v³ = -q
| uv = -p/3

O anche:

| u³ + v³ = -q
| u³v³ = -p³/27

Ne segue che u e v sono soluzione dell’equazione di secondo grado:

z² – (somma delle radici) z + (prodotto delle radici) = 0

z³ – (u³ + v³) z + u³v³ = 0

Cioè:

z² + qz – p³/27 = 0

Applicando la formula risolutiva dell’equazione di secondo grado, avremo:

Ricordiamo che la somma delle radici della nostra equazione è u³ + v³, quindi :

z1 = u³
z2 = v³

Quindi, in definitiva:

Dato che y = u + v, avremo la soluzione dell’equazione y³ + py +q = 0:

Per concludere ricordiamo i valori di p e q in funzione dei coefficienti dell’equazione completa di partenza ax³ + bx² + cx + d = 0:

p = (c/a – b²/3a²)
e
q = (d/a – bc/3a² + 2b³/27a³)