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Archivi tag: algebra
NUMERI SOMMA DI 2 QUADRATI ESATTI CONSECUTIVI
I numeri interi somma di due quadrati esatti consecutivi formano una serie dalle interessanti proprietà. I primi termini di questa serie sono: 5 = 1² + 2² 13 = 2² + 3² 25 = 3² + 4² 41 = 4² … Continua a leggere
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FATTORIZZAZIONE DI UN NUMERO PRIMO NEL CAMPO COMPLESSO
Tutti i numeri primi maggiori di 2 possono essere suddivisi in due grandi famiglie: quelli della forma 4N+1 e quelli della forma 4N+3. I numeri primi della forma 4N+1 sono esprimibili in uno ed un solo modo come somma di … Continua a leggere
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FORME QUADRATICHE (TEORIA DEI NUMERI)
Consideriamo la famosa polinomiale di Eulero che genera esclusivamente numeri primi inserendo, al posto della x, i numeri interi consecutivi da 0 a 39: x² + x + 41 I numeri primi generati sono: 41, 43, 47, 53, 61, 71, … Continua a leggere
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EQUAZIONE DI TERZO GRADO
L’equazione di terzo grado (detta anche equazione cubica) ha formula generale: ax³ + bx² + cx + d = 0 Per il Teorema Fondamentale dell’Algebra, essa ha tre soluzioni. L’equazione di terzo grado, come tutte le equazioni di grado dispari, … Continua a leggere
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CONGRUENZA DI PRIMO GRADO Ax ≡ B modulo N
Per chi non avesse dimestichezza con le congruenze, consigliamo di leggere prima questo articolo: https://giuseppemerlino.wordpress.com/2011/02/17/congruenze/ In questa breve nota useremo il simbolo ^ per denotare “elevato a” ed il simbolo * per denotare “moltiplicato per”. Operando con carta e penna, … Continua a leggere
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I NUMERI IMMAGINARI
Se ci chiedono “qual è quel numero che, moltiplicato per se stesso, fa 25 ?”, rispondiamo immediatamente “è 5”. In realtà c’è anche un altro numero che, moltiplicato per se stesso fa 25 ed è – 5, infatti, dato che … Continua a leggere
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CONGRUENZA QUADRATICA BINARIA X² ≡ A (MODULO P Numero primo)
X² ≡ A (MODULO P Numero primo) Risolvere questa congruenza significa trovare, se esiste, un quadrato esatto tale che il resto della sua divisione per il numero primo P, sia A. Ricordiamo che, in Teoria dei Numeri, si definisce residuo … Continua a leggere
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PRODOTTI NOTEVOLI
I prodotti notevoli sono delle identità molto utili per facilitare il calcolo letterale e la scomposizione dei polinomi. 1] (a + b)² = a² + 2ab + b² Cioè: il quadrato di un binomio è uguale alla somma tra il … Continua a leggere
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DIVISIONE PER ZERO E PER INFINITO
Spesso si sente dire che un numero diviso zero “fa” infinito e che un numero diviso infinito “fa” zero. In realtà, dividendo un numero per un numero sempre più piccolo, si ottiene un risultato sempre più grande, ma pur sempre … Continua a leggere
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EQUAZIONE DI MORDELL
Più che un articolo, questo è un invito alla ricerca. L’equazione di Mordell è la seguente equazione diofantea: x² – y³ = k Nella quale x, y e k sono tre numeri interi. In pratica, fissato k, si tratta di … Continua a leggere
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NUMERI SOMMA DI TRE QUADRATI CONSECUTIVI
I numeri somma di tre quadrati esatti consecutivi hanno forma: N = 3X² + 2 Infatti: (X – 1)² + X² + (X + 1)² = X² – 2X + 1 + X² + X² + 2X + 1 = … Continua a leggere
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LE RADICI DELL’UNITA’
Se ci chiedono “qual è la radice quadrata di 9?”, la maggioranza di noi risponde immediatamente “3” ed è giusto, infatti 3² = 9. Ma se riflettiamo un poco, aggiungiamo “un momento, c’è anche -3”, infatti anche (-3)² fa 9. … Continua a leggere
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LA SPIRALE DEI NUMERI PRIMI
La spirale dei numeri primi, nota come spirale di Ulam, è una particolare costruzione che mette in evidenza alcune inaspettate regolarità nella distribuzione dei numeri primi. Si consideri una griglia rettangolare e si dispongano i numeri naturali interi come segue: … Continua a leggere
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L’IPOTESI DI RIEMANN
In questa nota useremo il simbolo ^ per indicare “elevato a” ed il simbolo * per indicare la moltiplicazione. Eulero chiamò funzione zeta la somma infinita: Zeta(x) = 1 + 1/(2^x) + 1/(3^x) + 1/(4^x) + 1/(5^x) + 1(6^x) + … Continua a leggere
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GENERATRICI ALGEBRICHE DI NUMERI PRIMI
Trovare una funzione che generi tutti i numeri primi o infiniti numeri primi sembra proprio un sogno irrealizzabile. Qui riportiamo le più note funzioni che generano un certo numero di numeri primi consecutivi. (per “numeri primi consecutivi” intendiamo solo numeri … Continua a leggere
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NUMERI PRIMI DI SOPHIE GERMAIN
Un numero primo P viene detto numero primo di Sophie Germain se anche il numero 2P + 1 è primo. Ad esempio, 41 è un numero di Sophie Germain in quanto 2×41 + 1 = 83 è anch’esso un numero … Continua a leggere
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ESPRESSIONE DI UN INTERO COME DIFFERENZA DI 2 QUADRATI ESATTI
ESPRESSIONE DI UN NUMERO INTERO COME DIFFERENZA DI 2 QUADRATI ESATTI: N = X² – Y² Se d è un divisore di N inferiore a √N, allora una soluzione di questa equazione sarà: X = (N + d²)/(2d) Y = … Continua a leggere
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RADICI PRIMITIVE DI UN NUMERO PRIMO
Chi non avesse dimestichezza con le congruenze, può leggere prima questa breve nota: https://giuseppemerlino.wordpress.com/2011/02/17/congruenze/ Sappiamo dal piccolo Teorema di Fermat che, se P è un numero primo, allora, per ogni intero a minore di P: a(P-1) ≡ 1 (modulo P) … Continua a leggere
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NUMERI PRIMI
I numeri primi sono quei numeri che non hanno divisori, cioè che sono divisibili solo per se stessi e per l’unità. Ad esempio 105 non è un numero primo perchè 105 = 3x5x7. I numeri primi compresi tra 1 e … Continua a leggere
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PICCOLO GLOSSARIO DI TEORIA DEI NUMERI
NUMERI PRIMI: SONO I NUMERI INTERI DIVISIBILI SOLO PER SE STESSI E PER L’UNITA’, ESSI SONO IN NUMERO INFINITO. NUMERI PRIMI GEMELLI: SONO LE COPPIE DI NUMERI PRIMI SEPARATI SOLO DA UN NUMERO. ES: 71 – 73. CONGETTURA DI GOLDBACH: … Continua a leggere
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