IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA

La proprietà più nota del Triangolo di Tartaglia (chiamato Triangolo di Pascal nei paesi anglosassoni ed in Francia) è quella che l’N-esima riga a partire dall’alto fornisce i coefficienti per lo sviluppo della potenza di un binomio.

Se per esempio si vuole sviluppare la potenza  (a + b)⁵ , bisogna usare la quinta riga:

 (a + b)⁵  =  a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

 La costruzione del Triangolo di Tartaglia è estremamente semplice se si considera che ogni elemento di una riga è la somma di due elementi della riga precedente. Costruiamo, per esempio la sesta riga. Partiamo dalla quinta riga:

1  5  10  10  5  1

La sesta riga sarà:

1  (1+5)  (5+10)  (10+10)  (10+5)  (5+1)  1

 Cioè:

1  6  15  20  15  6  1

Un’altra proprietà del Triangolo di Tartaglia è che la somma degli elementi della riga N-esima è 2^N:

1 + 1  =  2  =  2¹

1 + 2 + 1  =  4  = 2²

1 + 3 + 3 + 1  =  8  =  2³

1 + 4 + 6 + 4 + 1  =  16  =  2⁴

1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1  =  32  = 2⁵

1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1  =  64  =  2⁶

Etc…..

Si guardino adesso le diagonali (da una parte o dall’altra è lo stesso). La prima diagonale è formata da tutti 1. La seconda è formata dalla successione di tutti i numeri interi (1,2,3,4,5,6,7…). Nella terza, formata dai numeri 1,3,6,10, 15, 21, 28, 36, 45 …, riconosciamo i numeri triangolari, cioè la somma dei primi n numeri naturali:

1  =  1

3  =  1 + 2

6  =  1 + 2 + 3

10  =  1 + 2 + 3 + 4

15  =  1 + 2 + 3 + 4 + 5

21  =  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

28  =  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

36  =  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

45  =  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

Etc….

Nel Triangolo di tartaglia, troviamo anche i numeri di Fibonacci. Per evidenziarli, disponiamo il Triangolo in questo modo:

La somma dei numeri delle diagonali sono proprio i numeri di Fibonacci:

Etc….

Ancora:

I numeri formati dalle cifre delle prime 4 righe sono le potenza di 11:

11  =  11¹

121  =  11²

1331  =  11³

14641  =  11⁴