PRODOTTI NOTEVOLI

I prodotti notevoli sono delle identità molto utili per facilitare il calcolo letterale e la scomposizione dei polinomi.

1]  (a + b)²  =  a² + 2ab + b²

Cioè: il quadrato di un binomio è uguale alla somma tra il quadrato del primo termine più il doppio prodotto del primo termine per il secondo più il quadrato del secondo termine.

La dimostrazione è estremamente semplice. Basta  eseguire il prodotto (a +b)(a + b) applicando le regole del calcolo letterale:

(a + b)²  =  (a + b)(a + b)  =  a² + ab + ab + b²  =  a² + 2ab + b²

La regola esposta si applica anche nel caso che il binomio sia (a – b)², solo che, in questo caso il doppio prodotto è negativo:

2]  (a – b)²  =  a² – 2ab + b²

La dimostrazione è identica alla precedente:

(a – b)²  =  (a – b)(a – b)  =  a² – ab – ab + b²  =  a² – 2ab + b²

3]  (a + b)(a – b)  =  a² – b²

Il prodotto della somma per la differenza di due termini è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine.
Dimostrazione:

(a + b)(a – b)  =  a² – ab + ab – b²  =  a² – b²

Nei calcoli algebrici è molto utile ricordare anche l’espressione inversa:

a² – b²  =  (a + b)(a – b)

4]  (a + b + c)²  =  a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Il quadrato di un trinomio è uguale al quadrato del primo termine più il quadrato del secondo termine più il quadrato del terzo termine più il doppio prodotto del primo termine per il secondo più il doppio prodotto del primo termine per il terzo più il doppio prodotto del secondo termine per il terzo.

La regola si applica anche in caso della presenza di segni meno:

(a – b + c)²  =  a² + b² + c² – 2ab + 2ac – 2bc

(a – b – c)²  =   a² + b² + c² – 2ab – 2ac + 2bc

Anche in questo caso la dimostrazione si effettua facendo il prodotto:

(a + b + c)²  =  (a + b + c)(a + b + c)  =  a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c²  =  a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

5]  (a + b)³  =  a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine più il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo più il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo più il cubo del secondo termine.

Analogamente si ha:

(a – b)³  =  a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Entrambe le relazioni si dimostrano facendo i prodotti  (a + b)(a + b)(a + b)  e  (a – b)(a – b)(a – b)

Da questi due prodotti notevoli discendono due relazioni molto utili nei problemi di scomposizione dei polinomi:

a³ + b³  =  (a + b)(a² – ab + b²)

a³ – b³  =  (a – b)( a² + ab + b²)

Dimostriamo la prima, partendo dal prodotto notevole.

(a + b)³  =  a³ + 3a²b + 3ab² + b³

a³ + 3a²b + 3ab² + b³  =  (a + b)³

a³ + b³  =  (a + b)³ – 3a²b – 3ab²

a³ + b³  =  (a + b)³ – 3ab(a + b)

a³ + b³  =  (a + b)[(a + b)² – 3ab]

a³ + b³  =  (a + b)( a² + 2ab + b² – 3ab)

a³ + b³  =  (a + b)(a² – ab + b²)

Dimostriamo la seconda, sempre partendo dal prodotto notevole:

(a – b)³  =  a³ – 3a²b + 3ab² – b³

a³ – 3a²b + 3ab² – b³  =  (a – b)³

a³ – b³  =  (a – b)³ + 3a²b – 3ab²

a³ – b³  =  (a – b)³ + 3ab(a – b)

a³ – b³  =  (a – b)[(a – b)² + 3ab]

a³ – b³  =  (a – b)( a² – 2ab + b² + 3ab)

a³ – b³  =  (a – b)(a² + ab + b²)
6] sviluppo di (a + b)N

Bisogna ricorrere al triangolo di tartaglia:1

facciamo due esempi:

(a + b)4  =  a4 + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b4

(a + b)5  =  a5 + 5a4b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab4 + b5

Informazioni su giuseppemerlino

Ingegnere Chimico
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