LA SEZIONE AUREA

Il significato originale di “sezione aurea” indica un particolare modo di dividere in due parti un segmento.
Consideriamo un segmento AC. Sia B un punto tale che il segmento AB sia medio proporzionale tra AC e BC, cioè:

AC : AB = AB : BC

Indicando con L la lunghezza del segmento AC e con X la lunghezza del segmento AB, avremo:

L : X = X : (L – X)

Poichè il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, risulterà:

X² = L(L – X)

X² = L² – LX

X² + LX – L² = 0

Questa è una semplice equazione di secondo grado nell’incognita X, che risolviamo con la formula risolutiva:

X = [- L +/- √(L² + 4L²)] / 2

X = [- L +/- √(5L²)] / 2

X = [- L +/- L√(5)] / 2

X = L [-1 +/- √5] / 2

Scartando la radice negativa, che in geometria non ha senso, avremo:

X = L (√5 – 1) / 2

Il rapporto X / L sarà dunque:

X / L = (√5 – 1) / 2 = 0,61803398874989…..

Il rapporto L / X sarà invece:

L / X = 2 / (√5 – 1)

Razionalizziamo questa espressione:

L / X = 2(√5 + 1) / [(√5 – 1)(√5 + 1)]

L / X = 2(√5 + 1) / (5 – 1)

L / X = 2(√5 + 1) / 4

L / X = (√5 + 1) / 2 = 1,61803398874989…..

Quest’ultimo numero è il “numero d’oro”. Esso è un numero irrazionale (cioè non rappresentabile come frazione di numeri interi) e gode, come abbiamo visto, della notevole proprietà che la sua parte decimale è uguale a quella del suo inverso. Spesso con il termine “sezione aurea” si intende non solo il modo di dividere un segmento che abbiamo illustrato, ma proprio il numero d’oro:

(√5 + 1) / 2 = 1,61803398874989…..

Si noti che (risparmiamo i calcoli al lettore) anche il rapporto AB / BC = X / (L – X) ha lo stesso valore.
Sempre in riferimento al segmento della figura iniziale, se costruiamo un rettangolo di base AB ed altezza BC, otteniamo il cosiddetto rettangolo aureo dalle particolari proporzioni armoniche, usato fin dall’antichità classica, in architettura, scultura e pittura.
Ritroviamo il numero d’oro anche nel pentagono regolare, il poligono con 5 lati uguali, come rapporto tra una qualsiasi diagonale ed il lato.
Ma l’aspetto più affascinante di questo numero è collegato con i numeri della successione di Fibonacci:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 …….

I primi due termini della successione sono 1 ed 1. Tutti gli altri termini sono la somma dei due termini che li precedono:

F1 = 1
F2 = 1
F3 = 1 + 1 = 2
F4 = 2 + 1 = 3
F5 = 3 + 2 = 5
F6 = 5 + 3 = 8
F7 = 8 + 5 = 13
F8 = 13 + 8 = 21
F9 = 21 + 13 = 34

ed in generale:

F(n) = F(n-2) + F(n-1)

Una proprietà notevolissima di questi numeri è che il rapporto tra un numero di Fibonacci e quello immediatamente precedente si avvicina sempre di più al numero 1.61803398874989….. cioè al numero d’oro ! Questa approssimazione avviene una volta per difetto ed una per eccesso.
Ad esempio:

987 / 610 = 1,618032787

1597 / 987 = 1,618034448

2584 / 1597 = 1,618033813

4181 / 2584 = 1,618034056

6765 / 4181 = 1,618033963

Dunque, per n tendente all’infinito: F(n) / F(n-1) = 1.61803398874989…..
Possiamo quindi costruire il segmento della figura semplicemente usando numeri di Fibonacci. In tal modo le proprietà precedentemente descritte sono molto più facilmente verificate. Per esempio potremmo usare i valori:

AB = 34 ; BC = 21 ; AC = 55

Anche se sarebbe opportuno usare numeri di Fibonacci molto più grandi.
Ma la stretta relazione tra il numero d’oro, il numero 5 (che è anche il numero dei lati del pentagono) ed i numeri di Fibonacci, la ritroviamo nella meravigliosa formula di Binet che ci da l’n-simo numero di Fibonacci:

E’ veramente sorprendente costatare come questa formula, che contiene addirittura termini irrazionali, possa generare, al variare di n, solo numeri interi !
Con questa formula si può calcolare l’n-simo numero di Fibonacci senza conoscere i termini precedenti, cioè evitando il lungo procedimento iterativo che abbiamo illustrato precedentemente.