NUMERI IRRAZIONALI

Irrazionale vuol dire “non ragionevole”, “oltre la ragione”, ed in effetti tratteremo qui di numeri che non si possono scrivere !
Per comprendere cosa sia un numero irrazionale, dobbiamo prima considerare l’operazione di divisione tra due numeri interi.
Il risultato di questa operazione può essere di quattro tipi differenti: un numero intero, un numero decimale finito, un numero decimale periodico, un numero decimale periodico misto.
Chiariamo con degli esempi:

21 : 7 = 3 numero intero.

41 : 8 = 5,125 numero decimale finito.

37 : 11 = 3,363636363636…… numero decimale periodico infinito.

In questo numero il gruppo (36) si ripete periodicamente infinite volte.

53 : 12 = 4,416666666666….. numero periodico misto infinito.

In questo numero il gruppo (6) si ripete periodicamente infinite volte, dopo un “antiperiodo” (41).

Dato che la divisione si può esprimere sotto forma di frazione, potremo scrivere questi quattro numeri come:

21 / 7 ; 41 / 8 ; 37 / 11 ; 53 / 12

Tutti i numeri che possono essere espressi sotto forma di frazione vengono definiti “numeri razionali”.
I numeri che tratteremo invece qui, non possono essere espressi tramite frazione e vengono chiamati “irrazionali”.

Consideriamo un quadrato con la sua diagonale e siano i quattro lati del quadrato uguali ad 1 (per esempio un metro).

Calcoliamo la lunghezza della diagonale applicando il Teorema di Pitagora:

D² = L² + L²

D² = 1² + 1²

D² = 1 + 1

D² = 2

D = √2

Quando eseguiamo il calcolo di √2 col metodo aritmetico di estrazione della radice quadrata, osserviamo che il nostro calcolo “non finisce mai” e potremmo continuare all’infinito, ottenendo cifre decimali distribuite nella maniera più casuale possibile, senza alcun periodo.
Il risultato iniziale sarà questo:

√2 =

Si badi bene che quello che abbiamo scritto non è √2, ma una sua approssimazione, in quanto le cifre decimali di questo numero sono infinite, per cui √2 non si può scrivere !
Si potrà obiettare: ma la diagonale del quadrato di lato 1 esiste e si può disegnare !
E’ vero, la diagonale è un segmento ed è li sotto i nostri occhi, ma non esiste un numero né intero né fratto che esprima la sua lunghezza se il lato del quadrato è 1.
Se partissimo da una diagonale lunga 1 e costruissimo il quadrato successivamente, allora non esisterebbe nessun numero né intero né fratto che esprima la lunghezza del lato di questo quadrato.
La conclusione è che diagonale e lato del quadrato sono due grandezze “incommensurabili”, appartengono a due mondi diversi, a due universi differenti …..
Ecco dunque che siamo di fronte ad un numero irrazionale, un numero cioè che non si può esprimere come frazione, in quanto ha una parte decimale infinita le cui cifre si susseguono senza alcuna regolarità o periodo.
Quanto detto per √2 vale per tutti i radicali: √3, √5 etc…. sono tutti numeri irrazionali.
Esiste un’interessante settore della Teoria dei Numeri che si occupa dell’approssimazione razionale di un numero irrazionale, cioè di trovare frazioni il cui valore numerico sia sempre più vicino al valore effettivo di un numero razionale.
Nel caso di √2 è stato trovato un procedimento piuttosto semplice:
La prima frazione è 1/1 e, ciascuna frazione successiva si ottiene dalla precedente a / b applicando la formula (a + 2b) / (a + b).
Quindi la seconda frazione sarà:

(1 + 2 x 1) / (1 + 1) = 3/2 = 1,5

La successiva:

(3 + 2 x 2) / (3 + 2) = 7/5 = 1,4

E ancora:

(7 + 2 x 5) / (7 + 5) = 17/12 = 1,4166666…

Continuando nel nostro procedimento, otterremo:

41 / 29 = 1,41379310344828….
99 / 70 = 1,41428571428571….
239 / 169 = 1,41420118343195…..
577 / 408 = 1,41421568627451…..
1393 / 985 = 1,41421319796954….
………………………………………………………………….

131836323 / 932223358 = 1,4142135623731….
………………………………………………………………

Abbiamo detto che tutti i radicali sono numeri irrazionali. Dobbiamo aggiungere che sono numeri algebrici, in quanto possono essere ottenuti come soluzioni di equazioni algebriche. Per esempio √2 è soluzione dell’equazione:

x² – 2 = 0

Ma non sempre è così: esistono numeri irrazionali che non sono algebrici e vengono chiamati numeri irrazionali trascendenti. il “Re” di questi numeri è pi greco, cioè il rapporto costante tra una circonferenza qualsiasi ed il suo diametro.

pi greco =

Nella storia della Matematica, il numero pi greco è la costante che nel corso dei secoli ha più affascinato gli studiosi.
Esso viene indicato col simbolo π o più semplicemente con pi ed è definito come il rapporto costante tra la lunghezza della circonferenza ed il suo diametro. Cioè, se si divide la lunghezza di qualsiasi circonferenza per il suo diametro, si ottiene sempre lo stesso numero, appunto π.
Pi greco non è un numero razionale, cioè non si può esprimere sotto forma di frazione, inoltre è un numero trascendente, cioè non è soluzione di nessuna equazione polinomiale a coefficienti razionali.
Le sue cifre decimali sono distribuite completamente a caso e, se avete la pazienza di esaminare qualche miliardo di cifre di questa costante, potreste avere anche la fortuna di trovare la vostra data di nascita, il vostro codice postale, il vostro numero di telefono…
La prima stima di π fu data dai Babilonesi che lo calcolavano come 3 + 1/8, cioè 3,125. Anche gli antichi Egizi conoscevano questo numero, che però valutavano per eccesso: 3,16.
Il primo calcolo scientifico di questo numero fu però fatto da Archimede di Siracusa (287 – 212 a.C.) che trovò il valore di 3,14: misurando il perimetro dei poligoni iscritti e circoscritti alla circonferenza ed aumentando il loro numero di lati, giunse ad una buona approssimazione della lunghezza della circonferenza da poter dividere per il diametro.
Dovranno poi passare molti secoli per calcolare la terza cifra decimale quando il matematico cinese Liu Hui calcolò π come 3,141.
Abbiamo detto che π non può essere espresso sotto forma di frazione, ma nel corso della lunga storia della matematica sono state trovate delle buone approssimazioni:

22 / 7 = 3,142857143
333 / 106 = 3,141509434
355 / 113 = 3,14159292
102573 / 32650 = 3,141592649
102928 / 32763 = 3,14159265

Quest’ultima approssimazione è corretta fino all’ottava cifra decimale, ma, col metodo delle frazioni continue, si possono trovare frazioni che approssimano π con sempre maggiore precisione.
Ovviamente π è coinvolto nelle formule per calcolare la lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio.
Chiamando C la lunghezza della circonferenza, R il raggio, D il diametro e A l’area del cerchio:

C = πD = 2πR
A = πR²

Ma π è coinvolto in altre numerose formule relative non solo alla geometria, ma anche alla Fisica ed alla Analisi Matematica.
Molte serie famose convergono al valore di π, ne riportiamo solo 2:

Formula di Leibniz (1674):

π /4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + 1/13 – …..

Formula di Eulero (1743):

π² / 6 = 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + 1/6² + 1/7² + ….

Solo che queste serie convergono molto lentamente: per arrivare ad ottenere solo le prime due cifre decimali esatte (3,14) occorre sommare 764 termini con la formula di Liebniz e 600 termini con la formula di Eulero !
Attualmente, con i computers, si calcolano milioni di cifre di π, usando soprattutto la formula di Machin o formule simili:

π / 4 = 4arctan(1/5) – arctan(1/239)

che coinvolge la funzione trigonometrica “arcotangente”.
Infine ricordiamo che il 14 marzo (3 /14 nella notazione anglosassone delle date) di ogni anno si celebra in tutto il mondo la festa di π.

Un altro numero irrazionale notevole è il “numero d’oro” fi, spesso chiamato anche “sezione aurea” dal nome del metodo per ricavarlo.
Qui ci limitiamo a darne un valore approssimato:

fi =

Questo numero, strettamente legato alla Serie di Fibonacci, l’abbiamo trattato separatamente in questo articolo:
https://giuseppemerlino.wordpress.com/2012/11/21/la-sezione-aurea/

Infine, tra i numeri irrazionali “famosi” dobbiamo doverosamente menzionare il numero di Eulero “e”, base dei logaritmi naturali:

e =

Anche questo numero lo abbiamo trattato separatamente qui:
https://giuseppemerlino.wordpress.com/2013/01/26/il-numero-di-eulero-e/