Archivi tag: teoria dei numeri

n ! + 1 = m^2 PROBLEMA DI BROCARD

Pubblicato il 02/11/2019 da giuseppemerlino

Il problema di Brocard consiste nel trovare le coppie (n,m) di numeri interi tali che (n ! +1) sia un quadrato esatto, cioè tali che : n ! + 1 = m2 Ricordiamo che il simbolo n ! (n fattoriale) … Continua a leggere →

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UN MISTERIOSO FENOMENO NELLA DISTRIBUZIONE DEI NUMERI PRIMI

Pubblicato il 18/03/2016 da giuseppemerlino

L’intervallo tra due numeri primi consecutivi è molto variabile: ci sono numeri primi consecutivi separati da un solo numero non primo (primi gemelli) e numeri primi consecutivi separati da veri e propri deserti formati da moltissimi numeri non primi. Nel … Continua a leggere →

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CONGETTURA DI COLLATZ

Pubblicato il 25/02/2016 da giuseppemerlino

La congettura di Collatz è uno di quei problemi irrisolti della Teoria dei Numeri che, nel momento in cui scriviamo (Febbraio 2016), non ha ancora trovato una dimostrazione. Una serie di Collatz si costruisce in questo modo: 1) Si scelga … Continua a leggere →

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NUMERI SOMMA DI 2 QUADRATI ESATTI CONSECUTIVI

Pubblicato il 11/07/2015 da giuseppemerlino

I numeri interi somma di due quadrati esatti consecutivi formano una serie dalle interessanti proprietà. I primi termini di questa serie sono: 5 = 1² + 2² 13 = 2² + 3² 25 = 3² + 4² 41 = 4² … Continua a leggere →

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NUMERI POLIUNITARI (REPUNITS)

Pubblicato il 11/04/2015 da giuseppemerlino

I numeri poliunitari (in inglese repunits), sono i numeri formati esclusivamente dalla cifra 1. Essi sono una “rispettabile” categoria di numeri, sia per le loro caratteristiche, sia per la ricerca di grandi numeri primi. I primi termini di questa famiglia … Continua a leggere →

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RELAZIONI NOTEVOLI TRA POTENZE DI INTERI

Pubblicato il 22/01/2015 da giuseppemerlino

Nel 1769 il grande matematico Eulero (Leonhard Euler) enunciò la congettura che, se la somma di k potenze n-esime è uguale ad una potenza n-esima, allora k deve essere maggiore o uguale ad n. In epoca moderna la congettura è … Continua a leggere →

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FATTORIZZAZIONE DI UN NUMERO PRIMO NEL CAMPO COMPLESSO

Pubblicato il 08/09/2014 da giuseppemerlino

Tutti i numeri primi maggiori di 2 possono essere suddivisi in due grandi famiglie: quelli della forma 4N+1 e quelli della forma 4N+3. I numeri primi della forma 4N+1 sono esprimibili in uno ed un solo modo come somma di … Continua a leggere →

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FORME QUADRATICHE (TEORIA DEI NUMERI)

Pubblicato il 15/05/2014 da giuseppemerlino

Consideriamo la famosa polinomiale di Eulero che genera esclusivamente numeri primi inserendo, al posto della x, i numeri interi consecutivi da 0 a 39: x² + x + 41 I numeri primi generati sono: 41, 43, 47, 53, 61, 71, … Continua a leggere →

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DIVISORI, FATTORI PRIMI E FATTORIZZAZIONE DI UN NUMERO INTERO

Pubblicato il 03/04/2014 da giuseppemerlino

Il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica afferma che: “Ogni numero intero maggiore di 1 o è un numero primo o si può esprimere come prodotto di numeri primi. Tale rappresentazione è unica, se si prescinde dall’ordine in cui compaiono i fattori”. Ad … Continua a leggere →

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FRAZIONI EGIZIANE

Pubblicato il 23/03/2014 da giuseppemerlino

Gli antichi egizi usavano solo frazioni con numeratore uguale ad 1, per esempio 1 / 5 , 1 / 8 etc …. ed esprimevano tutte le altre frazioni come somma di queste frazioni unitarie. Da questa considerazione, i matematici si … Continua a leggere →

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IL NUMERO 666

Pubblicato il 23/01/2014 da giuseppemerlino

“Qui sta la sapienza. Chi ha intelligenza calcoli il numero della bestia, poiché è numero d’uomo: e il suo numero è seicentosessantasei”. Così leggiamo nell’Apocalisse di Giovanni (13,18). Su questo numero, chiamato “numero della bestia” o “numero dell’Anticristo” o “numero … Continua a leggere →

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CONGRUENZA DI PRIMO GRADO Ax ≡ B modulo N

Pubblicato il 10/12/2013 da giuseppemerlino

Per chi non avesse dimestichezza con le congruenze, consigliamo di leggere prima questo articolo: https://giuseppemerlino.wordpress.com/2011/02/17/congruenze/ In questa breve nota useremo il simbolo ^ per denotare “elevato a” ed il simbolo * per denotare “moltiplicato per”. Operando con carta e penna, … Continua a leggere →

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CONGRUENZA QUADRATICA BINARIA X² ≡ A (MODULO P Numero primo)

Pubblicato il 15/06/2013 da giuseppemerlino

X² ≡ A (MODULO P Numero primo) Risolvere questa congruenza significa trovare, se esiste, un quadrato esatto tale che il resto della sua divisione per il numero primo P, sia A. Ricordiamo che, in Teoria dei Numeri, si definisce residuo … Continua a leggere →

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EQUAZIONE DI MORDELL

Pubblicato il 03/03/2013 da giuseppemerlino

Più che un articolo, questo è un invito alla ricerca. L’equazione di Mordell è la seguente equazione diofantea: x² – y³ = k Nella quale x, y e k sono tre numeri interi. In pratica, fissato k, si tratta di … Continua a leggere →

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NUMERI SOMMA DI TRE QUADRATI CONSECUTIVI

Pubblicato il 04/02/2013 da giuseppemerlino

I numeri somma di tre quadrati esatti consecutivi hanno forma: N = 3X² + 2 Infatti: (X – 1)² + X² + (X + 1)² = X² – 2X + 1 + X² + X² + 2X + 1 = … Continua a leggere →

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COMPLEMENTI AI NUMERI TRIANGOLARI

Pubblicato il 13/12/2012 da giuseppemerlino

In questa nota aggiungiamo alcuni complementi all’articolo sui Numeri Triangolari: https://giuseppemerlino.wordpress.com/2010/12/30/numeri-triangolari/ Qui ci limitiamo a ricordare che un Numero Triangolare S(n) è la somma dei primi n numeri naturali ed è espresso dalla formula: S(n) = n(n + 1) / … Continua a leggere →

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LA SPIRALE DEI NUMERI PRIMI

Pubblicato il 29/10/2012 da giuseppemerlino

La spirale dei numeri primi, nota come spirale di Ulam, è una particolare costruzione che mette in evidenza alcune inaspettate regolarità nella distribuzione dei numeri primi. Si consideri una griglia rettangolare e si dispongano i numeri naturali interi come segue: … Continua a leggere →

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GENERATRICI ALGEBRICHE DI NUMERI PRIMI

Pubblicato il 22/08/2012 da giuseppemerlino

Trovare una funzione che generi tutti i numeri primi o infiniti numeri primi sembra proprio un sogno irrealizzabile. Qui riportiamo le più note funzioni che generano un certo numero di numeri primi consecutivi. (per “numeri primi consecutivi” intendiamo solo numeri … Continua a leggere →

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NUMERI PRIMI DI SOPHIE GERMAIN

Pubblicato il 30/07/2012 da giuseppemerlino

Un numero primo P viene detto numero primo di Sophie Germain se anche il numero 2P + 1 è primo. Ad esempio, 41 è un numero di Sophie Germain in quanto 2×41 + 1 = 83 è anch’esso un numero … Continua a leggere →

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EQUAZIONI DIOFANTEE NOTEVOLI

Pubblicato il 05/05/2012 da giuseppemerlino

In questa breve nota daremo alcune soluzioni di equazioni diofantee di grado superiore al primo. Innanzitutto ricordiamo brevemente la soluzione che riguarda le terne pitagoriche: A² = B² + C² Soluzione: A = M² + N² B = M² – … Continua a leggere →

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QUADRATI IN PROGRESSIONE

Pubblicato il 01/05/2012 da giuseppemerlino

Nella successione dei quadrati esatti: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169 ….. si possono trovare delle terne di quadrati esatti (A², B², C²) che sono in progressione aritmetica cioè tali che: (B² – … Continua a leggere →

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NUMERI PRIMI E QUADRATI ESATTI

Pubblicato il 08/02/2012 da giuseppemerlino

I numeri primi della forma 4N+1 sono esprimibili in uno ed un solo modo come somma di due quadrati esatti P = X² + Y². I numeri primi della forma 4N+3 non sono esprimibili come somma di due quadrati esatti. … Continua a leggere →

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ESPRESSIONE DI UN INTERO COME DIFFERENZA DI 2 QUADRATI ESATTI

Pubblicato il 10/10/2011 da giuseppemerlino

ESPRESSIONE DI UN NUMERO INTERO COME DIFFERENZA DI 2 QUADRATI ESATTI: N = X² – Y² Se d è un divisore di N inferiore a √N, allora una soluzione di questa equazione sarà: X = (N + d²)/(2d) Y = … Continua a leggere →

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SEQUENZE ALIQUOT

Pubblicato il 24/08/2011 da giuseppemerlino

Una sequenza aliquot è una successione di numeri interi tale che ogni termine della serie è la somma dei divisori propri del termine precendente. I divisori propri di un numero sono tutti i divisori di quel numero, tranne il numero … Continua a leggere →

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NUMERI PALINDROMI: IL MISTERO DEL NUMERO 196

Pubblicato il 22/08/2011 da giuseppemerlino

Un numero palindromo è un numero che ha lo stesso valore sia letto da sinistra che da destra. Ad esempio sono numeri palindromi 1331, 52725, 89498 e 41814. I numeri palindromi non sono molto frequenti: fino ad un milione se … Continua a leggere →

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RADICI PRIMITIVE DI UN NUMERO PRIMO

Pubblicato il 18/08/2011 da giuseppemerlino

Chi non avesse dimestichezza con le congruenze, può leggere prima questa breve nota: https://giuseppemerlino.wordpress.com/2011/02/17/congruenze/ Sappiamo dal piccolo Teorema di Fermat che, se P è un numero primo, allora, per ogni intero a minore di P: a(P-1) ≡ 1 (modulo P) … Continua a leggere →

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NUMERI DI CARMICHAEL E NUMERI PSEUDOPRIMI

Pubblicato il 21/07/2011 da giuseppemerlino

Il piccolo Teorema di Fermat afferma che, se P è un numero primo, allora: A(P-1) ≡ 1 (mod. P) Per ogni A minore di P ed, in generale, per ogni A coprimo con P. Cioè, se P è un numero … Continua a leggere →

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10² + 11² + 12² = 13² + 14² = 365

Pubblicato il 28/03/2011 da giuseppemerlino

Fin dall’antichità è nota questa affascinante relazione: 10² + 11² + 12² = 13² + 14² = 365 Che possiamo verificare: 10² + 11² + 12² = 100 + 121 + 144 = 365 13² + 14² = 169 + … Continua a leggere →

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NUMERI ESPRIMIBILI IN 2 MODI DIVERSI COME SOMMA DI 2 CUBI

Pubblicato il 02/03/2011 da giuseppemerlino

Un giorno il matematico Hardy (1877 – 1947) prese un taxi per andare a trovare l’amico matematico Ramanujan (1887 – 1920). Il numero del taxi era 1729 ed il repentino commento di Ramanujan fu: “E’ il più piccolo numero esprimibile … Continua a leggere →

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EQUAZIONE DIOFANTEA P = x² + y²

Pubblicato il 16/11/2010 da giuseppemerlino

EQUAZIONE P = x² + y² con P numero primo ed x ed y numeri interi positivi. Possiamo dividere i numeri primi in due grandi famiglie: quelli della forma 4n + 1 e quelli della forma 4n + 3. I … Continua a leggere →

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