n ! + 1 = m^2 PROBLEMA DI BROCARD

Il problema di Brocard consiste nel trovare le coppie (n,m) di numeri interi tali che (n ! +1) sia un quadrato esatto, cioè tali che :

n ! + 1 = m²

Ricordiamo che il simbolo n ! (n fattoriale) rappresenta il prodotto di tutti i numeri interi fino a n. Per esempio :

5 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

Sono conosciute solo tre coppie (n,m) che soddisfano questa equazione diofantea e non è noto se ne esistano altre.

Le tre coppie sono (4, 5), (5, 11) e (7, 71) , infatti :

4 ! + 1 = 24 + 1 = 25 = 5²

5 ! + 1 = 120 + 1 = 121 = 11²

7 ! + 1 = 5.040 + 1 = 5.041 = 71²

Una ricerca fino a n = un miliardo non ha trovato altre soluzioni. Esistono soluzioni più grandi ?