CONGETTURA DI COLLATZ

La congettura di Collatz è uno di quei problemi irrisolti della Teoria dei Numeri che, nel momento in cui scriviamo (Febbraio 2016), non ha ancora trovato una dimostrazione.
Una serie di Collatz si costruisce in questo modo:

1) Si scelga un numero intero qualsiasi.
2) Se è pari lo si divida per 2.
3) Se è dispari lo si moltiplichi per 3 e si aggiunga 1.
4) Si ripeta l’operazione sul numero ottenuto.

La congettura afferma che tutte le serie di Collatz giungono alla fine sempre al numero 1.
Ad esempio, partendo da 10, abbiamo:

10 è pari, quindi lo dividiamo per 2 ed otteniamo 5
5 è dispari, quindi il termine successivo sarà 3×5 + 1 = 16
16 è pari, quindi lo dividiamo per 2 ottenendo 8
8 è pari, quindi lo dividiamo per 2 ottenendo 4
4 è pari, quindi lo dividiamo per 2 ottenendo 2
2 è pari, quindi lo dividiamo per 2 ottenendo 1

La sequenza di Collatz, sarà:

10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Se proseguissimo operando su 1, otterremo la ricorrenza 1,4,2,1,4,2,1,4,2,1 ….

Analogamente, usando come numero iniziale 11, avremo la sequenza:

11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

La congettura non è ancora stata dimostrata, ma risulta sempre verificata, per quanto grande sia il numero di partenza. E’ stata testata su numeri enormi, ma, finché non se ne trova una dimostrazione, resteremo sempre col dubbio che possa esistere un controesempio.
Tra i numeri “piccoli”, notevole è il caso del numero 27 che, per giungere ad 1, impiega 111 passaggi :

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1.

Congettura di Collatz

Di questo numero, la cui sequenza arriva ad un valore massimo di 9232, riportiamo anche il grafico:

Collatz 27

Ancora a titolo di esempio riportiamo la sequenza con numero iniziale 871 che arriva ad un valore massimo di 190.996 e giunge ad 1 dopo 178 passaggi:

collatz 871

Ancora a titolo di esempio segnaliamo il numero 6.171, la cui sequenza giunge ad 1 dopo 261 passaggi con valore massimo 975.400, il numero 77.031 la cui sequenza giunge ad 1 dopo 350 passaggi con valore massimo 21.933.016 ed il numero 837.799 la cui sequenza giunge ad 1 dopo 524 passaggi con valore massimo 2.974.984.576.

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Ingegnere Chimico
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