NUMERI SOMMA DI 2 QUADRATI ESATTI CONSECUTIVI

I numeri interi somma di due quadrati esatti consecutivi formano una serie dalle interessanti proprietà.
I primi termini di questa serie sono:

5 = 1² + 2²
13 = 2² + 3²
25 = 3² + 4²
41 = 4² + 5²
61 = 5² + 6²
85 = 6² + 7²

La serie, un po’ più estesa, è:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325 …..

La formula generale di questi numeri, che indicheremo con B, sarà ovviamente:

B(n) = (n)² + (n+1)² = n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n + 1

Osserviamo subito che possiamo esprimere i numeri B in funzione dei numeri triangolari S (somma dei primi n numeri naturali), ricordando che:

S(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + ….. n = (n² + n) / 2

Infatti:

B(n) = 2n² + 2n + 1 = 4 (n² + n) / 2 + 1 = 4S(n) + 1

Questi numeri risultano anche essere esprimibili in questa forma particolare:

5 = 1 + 3 +1
13 = 1 + 3 + 5 + 3 + 1
25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 5 + 3 + 1
41 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1
61 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1
85 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1
etc ….
…………………………………………………………………………………..

I numeri B, somma di due quadrati esatti consecutivi, possono essere anche generati dalla formula:

B = (k² + 1) / 2

Nella quale k è un numero dispari qualsiasi.

Per esempio, per k = 7, otteniamo:

(7² + 1) / 2 = 50 / 2 = 25.

Da ciò deriva anche che, qualsiasi sia B, la radice quadrata di 2B – 1 è sempre un quadrato esatto.
Ad esempio, se scegliamo B = 85, avremo:

2×85 – 1 = 169 = 13²

Analogamente, scegliendo dalla serie B = 61, avremo:

2×61 – 1 = 121 = 11²

Dato un termine B(n) della serie, il termine immediatamente successivo è generato dalla formula:

B(n+1) = B(n) + 2*{ 1 + √[2*B(n) – 1] }

Ad esempio, partendo da B(n) = 61, otteniamo:

B(n+1) = 61 + 2*{ 1 + √[2*61 – 1] } =

= 61 + 2*[1 + √(121)] =

= 61 + 2*12 = 61 + 24 = 85

La serie puo essere costruita anche con un metodo grafico molto semplice: si dispongono i numeri interi a forma di triangolo. 1 sul vertice, poi sotto un rigo che contiene solo 2 e 3. Poi ancora sotto il rigo 4,5,6. Si vede che il numero 5 appare sotto l’1. Poi si continua così, mettendo sempre un numero in più per ogni rigo. La nostra serie verrà immediatamente visualizzata lungo l’altezza di questo triangolo numerico.

Si può anche procedere con questo altro metodo:
Scriviamo i numeri 1 e 2, poi andiamo a capo e scriviamo 3. I numeri 2 e 3 li troveremo in diagonale. Costruiamo poi tutte le diagonali parallele a questa. la prima la otterremo scrivendo 4 a fianco al 2 e scendendo avremo la diagonale 4,5,6 e così via.
Troveremo tutti i numeri della nostra serie sulla diagonale principale che va dal vertice superiore sinistro a quello inferiore destro.