NUMERI POLIUNITARI (REPUNITS)

I numeri poliunitari (in inglese repunits), sono i numeri formati esclusivamente dalla cifra 1.
Essi sono una “rispettabile” categoria di numeri, sia per le loro caratteristiche, sia per la ricerca di grandi numeri primi.
I primi termini di questa famiglia di numeri godono di due curiose proprietà che mostriamo nelle figure sottostanti:

Per comodità di scrittura, per i repunits si usa la notazione R(n). Per esempio:

R(7) = 1111111

La fattorizzazione dei repunits e la ricerca dei repunits primi, diventa presto un problema arduo al crescere di n, cioè del numero di cifre 1 che li compongono.
Un piccolo aiuto nella ricerca degli R(n) primi proviene dalla proprietà che se R(n) è primo, allora n deve essere un numero primo.
Purtroppo non è vero il contrario, per esempio 11 è un numero primo, ma R(11) non lo è:

R(11) = 11111111111 = 21.649 x 513.239

Con un mio programma UBASIC ho fattorizzato i primi 16 repunits e tra essi si vede che l’unico repunit primo è R(2) = 11 (il programma segnala erroneamente 1 come numero primo):

Per quanto detto prima, la ricerca degli R(n) primi può essere limitata agli n che siano numeri primi e troviamo:

R(17) = 2.071.723 x 5.363.222.357

R(19) = 1111111111111111111 = Numero Primo

R(23) = 11111111111111111111111 = Numero Primo

R(29) = 3.191 x 16.763 x 43.037 x 62.003 x 77.843.839.397

Andando avanti con la ricerca sorge il problema che non si sa se il repunit analizzato è primo o se ha fattori primi talmente grandi che non si riescono ancora ad individuare.
Con metodi molto sofisticati si è appurato che sono sicuramente primi R(317), scoperto nel 1978 ed R(1031) scoperto nel 1986.
R(49081), R(86453), R(109297) ed R(270343), sono invece per ora classificati come “probabili primi”, perchè sussiste ancora il dubbio che possano avere fattori primi “enormi”, finora sfuggiti alla ricerca.
Come si vede i repunits primi sono piuttosto rari. Ciò nonostante si suppone che siano infiniti, ma questa, per ora, è solo una congettura.