TRIGONOMETRIA

La Trigonometria è quel settore della Matematica che si occupa della “risoluzione” dei triangoli che consiste nel trovare elementi incogniti, a partire da elementi noti, di queste figure geometriche.
Questa disciplina trova innumerevoli applicazioni, ad esempio in Astronomia, Topografia, Geometria, Analisi Matematica, Algebra etc … ed è caratterizzata da alcune funzioni fondamentali, dette appunto “funzioni trigonometriche”.
Si definisce “Cerchio Trigonometrico” un cerchio con centro nell’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali e raggio uguale ad 1.

 

Se dal centro O del cerchio trigonometrico tracciamo un raggio, questo individua un punto A sulla circonferenza e formerà con l’asse x delle ascisse un angolo α (AOC nella figura).
Tracciando dal punto A la perpendicolare all’asse x delle ascisse, si trova il suo piede B.
Il segmento AB si definisce seno dell’angolo α e si indica con sen α.
Il segmento OB si definisce coseno dell’angolo α e si indica con cos α.
Infine, detto D il punto d’incontro tra la tangente alla circonferenza perpendicolare all’asse x delle ascisse ed il prolungamento del raggio del cerchio OA, individueremo il segmento CD che si definisce tangente di α e si indica con tan α o con tg α.
Dalla figura notiamo immediatamente che:
L’angolo di 0° = 360° (2π in radianti) avrà seno uguale a 0, coseno uguale ad 1 e tangente uguale a 0.
L’angolo di 90° (π / 2 in radianti) avrà seno uguale ad 1, coseno uguale a 0 e tangente uguale ad infinito.
L’angolo di 180° (π in radianti) avrà seno uguale a 0, coseno uguale a – 1 e tangente uguale a 0
L’angolo di 270° (3/2 π in radianti) avrà seno uguale a – 1, coseno uguale a 0 e tangente uguale a meno infinito.
Possiamo concludere che il seno ed il coseno sono grandezze che possono variare tra – 1 ed 1, mentre la tangente può variare tra meno infinito e più infinito.
Per alcuni angoli intermedi, i valori saranno i seguenti:

30° (π / 6): seno = 1 / 2 , coseno = √3 / 2 , tangente √3 / 3
45° (π / 4): seno = √2 / 2, coseno = √2 / 2 , tangente = 1
60° (π / 3): seno = √3 / 2, coseno = 1 / 2 , tangente = √3

Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo AOB, si ottiene la relazione fondamentale tra seno e coseno:

(AB)² + (OB)² = (OA)²

cioè:

sen² α + cos² α = 1

dalla quale si ottengono anche le relazioni:

sen α = +/- √(1 – cos² α)
cos α = +/- √(1 – sen² α)

Un’altra relazione fondamentale è la seguente:

tan α = sen α / cos α

In Trigonometria si introducono anche tre funzioni dette reciproche:

Cotangente : cotg α = 1 / tan α
Secante : sec α = 1 / cos α
Cosecante : cosec α = 1 / sen α

Concludiamo questa breve trattazione con alcune importanti formule trigonometriche dette formule di addizione e sottrazione:

sen (a + b) = sen a*cos b + sen b*cos a
cos (a + b) = cos a*cos b – sen a*sen b
sen (a – b) = sen a*cos b – sen b*cos a
cos (a – b) = cos a*cos b + sen a*sen b
tan (a + b) = (tg a + tg b) / (1 – tg a*tg b)
tan (a – b) = (tg a – tgb) / (1 + tg a*tg b)