RELAZIONI NOTEVOLI TRA POTENZE DI INTERI

Nel 1769 il grande matematico Eulero (Leonhard Euler) enunciò la congettura che, se la somma di k potenze n-esime è uguale ad una potenza n-esima, allora k deve essere maggiore o uguale ad n.
In epoca moderna la congettura è stata confutata per n = 5 da due controesempi:
(useremo il simbolo ^ come “elevato a”)

27 ^5 + 84 ^5 + 110 ^5 + 133 ^5 = 144 ^5 (Lander & Parkin, 1966)

55 ^5 + 3183 ^5 + 28969 ^5 + 85282 ^5 = 85359 ^5 (Frye, 2004)

nelle quali, come si vede k = 4, quindi minore di n = 5.

Nel 1986, Noam Elkies ha trovato un metodo per costruire infiniti controesempi alla congettura di Eulero nel caso di n = 4. Il più “piccolo” è il seguente:

2682440 ^4 + 15365639 ^4 + 18796760 ^4 = 20615673 ^4

E, nel 1988, Roger Frye ha trovato un esempio, sempre per n = 4, che coinvolge numeri più piccoli:

95800 ^4 + 217519 ^4 + 414560 ^4 = 422481 ^4

Sono conosciute molte eguaglianze che invece rispettano la congettura di Eulero.
Solo a titolo di esempio ne riportiamo quattro, tutte con k = n:

3 ^3 + 4 ^3 + 5 ^3 = 6 ^3 (nota già nell’antica Grecia)

30 ^4 + 120 ^4 + 272 ^4 + 315 ^4 = 353 ^4 (R. Norrie, 1911)

19 ^5 + 43 ^5 + 46 ^5 + 47 ^5 + 67 ^5 = 72 ^5 (Lander, Parkin, Selfridge, 1967)

7 ^5 + 43 ^5 + 57 ^5 + 80 ^5 + 100 ^5 = 107 ^5 (Sastry, 1934)

Considerando n = 2, esistono infinite eguaglianze tra somme di potenze consecutive:

3² + 4² = 5²

10² + 11² + 12² = 13² + 14²

21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²

36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²

55² + 56² + 57² + 58² + 59² + 60² = 61² + 62² + 63² + 64² + 65²

78² + 79² + 80² + 81² + 82² + 83² + 84² = 85² + 86² + 87² + 88² + 89² + 90²

eccetera ….

Esiste un semplice metodo per costruirle: si fissi un numero intero positivo N. Il primo termine sarà N*(2N + 1) ed il primo membro della relazione sarà formato da (N + 1) termini, mentre il secondo membro sarà formato da N termini.
Per esempio, per N = 2, avremo N*(2N + 1) = 10 e quindi:

10² + 11² + 12² = 13² + 14²

Per N = 3, avremo N*(2N + 1) = 21 e così via.

Un giorno il matematico Hardy (1877 – 1947) prese un taxi per andare a trovare l’amico matematico Ramanujan (1887 – 1920). Il numero del taxi era 1729 ed il repentino commento di Ramanujan fu: “E’ il più piccolo numero esprimibile come somma di 2 cubi positivi in 2 modi diversi!”.
Infatti:

1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³

Ora sappiamo che esistono infinite eguaglianze del tipo:

A³ + B³ = C³ + D³

Per esempio:

1³ + 12³ = 9³ + 10³

2³ + 16³ = 9³ + 15³

2³ + 24³ = 18³ + 20³

10³ + 27³ = 19³ + 24³

4³ + 32³ = 18³ + 30³

2³ + 34³ = 15³ + 33³

9³ + 34³ = 16³ + 33³

3³ + 36³ = 27³ + 30³

17³ + 39³ = 26³ + 36³

12³ + 40³ = 31³ + 33³

Etc……

Notevole anche la relazione:

167³ + 436³ = 228³ + 423³ = 255³ + 414³

Anche l’equazione:

A^4 + B^4 = C^4 + D^4

Ha infinite soluzioni. Ecco le prime:

59 ^4 + 158 ^4 = 133 ^4 + 134 ^4

7 ^4 + 239 ^4 = 157 ^4 + 227 ^4

193 ^4 + 292 ^4 = 256 ^4 + 257 ^4

Ed anche l’equazione:

A³ + B³ + C³ = D³

Ha infinite soluzioni. Ecco alcuni esempi che coinvolgono piccoli numeri:

3³ + 4³ + 5³ = 6³

1³ + 6³ + 8³ = 9³

3³ + 10³ + 18³ = 19³

7³ + 14³ + 17³ = 20³

4³ + 17³ + 22³ = 25³

Notevoli anche queste:

11³ + 12³ + 13³ + 14³ = 20³

5³ + 7³ + 9³ + 10³ = 13³

1³ + 3³ + 4³ + 5³ + 8³ = 9³

3³ + 4³ + 5³ + 8³ + 10³ = 12³

1³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 10³ = 13³

Diamo infine alcune interessanti relazioni tra potenze di interi trovate nell’ultimo mezzo secolo, che coinvolgono piccoli numeri:

4 ^4 + 6 ^4 + 8 ^4 + 9^4 + 14 ^4 = 15 ^4

4 ^5 + 5 ^5 + 6 ^5 + 7 ^5 + 9 ^5 + 11 ^5 = 12 ^5

5 ^5 + 10 ^5 + 11 ^5 + 16 ^5 + 19 ^5 + 29^5 = 30 ^5

1 ^5 + 7 ^5 + 8 ^5 + 14 ^5 + 15 ^5 + 18 ^5 + 20 ^5 = 23 ^5