FATTORIZZAZIONE DI UN NUMERO PRIMO NEL CAMPO COMPLESSO

Tutti i numeri primi maggiori di 2 possono essere suddivisi in due grandi famiglie: quelli della forma 4N+1 e quelli della forma 4N+3.
I numeri primi della forma 4N+1 sono esprimibili in uno ed un solo modo come somma di due quadrati esatti, cioè esiste una coppia di numeri interi (a,b), tale che P = a² + b²,
I numeri primi della forma 4N+3 non sono esprimibili in alcun modo come somma di due quadrati esatti.
Ricordiamo ora che un numero complesso è un numero della forma a + ib, dove i è l’unità immaginaria definita come i = √(-1) e tale che i² = -1.
Consideriamo adesso l’espressione (a + ib)(a – ib) e sviluppiamola:

(a + ib)(a – ib) = a² – i²b² = a² – (-1)b² = a² + b²

Dunque, nel campo complesso, un numero primo della forma 4N+1 ha i fattori (a + ib) e (a – bi) , ma non solo, infatti si ha anche:

(b + ia)(b – ia) = b² – i²a² = b² – (-1)a² = b² + a² = a² + b²

Quindi ha anche i fattori (b + ia) e (b – ia).

I numeri primi della forma 4N + 3 restano invece primi anche nel campo complesso.

Facciamo un esempio pratico:
Il numero primo 89 è della forma 4N + 1, infatti 89 = 4*22 + 1, per cui è esprimibile in uno ed un solo modo come somma di due quadrati esatti:

89 = 5² + 8² = 25 + 64

Allora, nel campo complesso, 89 non è un numero primo, ma fattorizzabile:

89 = (5 + 8i)(5 – 8i)
89 = (8 + 5i)(8 – 5i)

Come si può facilmente verificare.

Per la soluzione dell’equazione P = a² + b², con P numero primo della forma 4N + 1, si può consultare l’articolo:
https://giuseppemerlino.wordpress.com/2010/11/16/equazione-diofantea-p-p-x%C2%B2-y%C2%B2/

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Ingegnere Chimico
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