Consideriamo la famosa polinomiale di Eulero che genera esclusivamente numeri primi inserendo, al posto della x, i numeri interi consecutivi da 0 a 39:
x² + x + 41
I numeri primi generati sono:
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601.
Inserendo x = 40 si ottiene il primo numero non primo, 1681
Facciamo ora la trasformazione x = y + 1:
x² + x + 41
(y + 1)² + (y + 1) + 41
y² + 2y + 1 + y + 1 + 41
y² + 3y + 43
Inserendo in questa nuova polinomiale i numeri interi consecutivi da 0 a 38, otteniamo gli stessi numeri primi, però a partire da 43 anzichè da 41:
43 47 53 61 71 83 97 113 131 151 173 197 223 251 281 313 347 383 421 461 503 547 593 641 691 743 797 853 911 971 1033 1097 1163 1231 1301 1373 1447 1523 1601.
Inserendo y = 39 si ottiene il primo numero non primo, 1681.
Facciamo ora, su questa seconda polinomiale, la trasformazione y = z + 1:
y² + 3y + 43
(z + 1)² + 3(z + 1) + 43
z² + 2z + 1 + 3z + 3 + 43
z² + 5z + 47
Inserendo i questa nuova polinomiale i numeri interi consecutivi da 0 a 37, otteniamo gli stessi numeri primi, però a partire da 47 anzichè da 43:
47 53 61 71 83 97 113 131 151 173 197 223 251 281 313 347 383 421 461 503 547 593 641 691 743 797 853 911 971 1033 1097 1163 1231 1301 1373 1447 1523 1601.
Inserendo z = 38 si ottiene il primo numero non primo, 1681.
Potremmo procedere così all’infinito.
In effetti le tre polinomiali:
x² + x + 41
y² + 3y + 43
z² + 5z + 47
Generano praticamente gli stessi numeri, inserendo al posto di x, y o z tutti i numeri interi da 0 ad infinito, tralasciando ora la questione se siano primi o no.
In Teoria dei Numeri, le forme quadratiche che hanno questa proprietà, vengono definite “Forme Quadratiche Equivalenti”.
Le Forme Quadratiche Equivalenti hanno la notevole proprietà di avere lo stesso discriminante Δ.
Ricordiamo che, in una forma quadratica:
ax² + bx + c
Si definisce discriminante l’espressione:
Δ = b² – 4ac
Verifichiamo questa proprietà per le tre forme quadratiche del nostro esempio:
x² + x + 41
y² + 3y + 43
z² + 5z + 47
Per la prima avremo:
Δ = 1² – 4*1*41 = 1 – 164 = -163
Per la seconda avremo:
Δ = 3² – 4*1*43 = 9 – 172 = -163
Per la terza avremo:
Δ = 5² – 4*1*47 = 25 – 188 = -163
In Teoria dei Numeri hanno particolare interesse le Forme Quadratiche Binarie, del tipo:
ax² + bxy + cy²
Per le quali il discriminante è sempre definito come Δ = b² – 4ac
Anche in questo caso le forme equivalenti hanno lo stesso discriminante.
Giuseppemerlino's Blog 