FRAZIONI EGIZIANE

Gli antichi egizi usavano solo frazioni con numeratore uguale ad 1, per esempio  1 / 5  ,  1 / 8  etc …. ed esprimevano tutte le altre frazioni come somma di queste frazioni unitarie.
Da questa considerazione, i matematici si sono posti il problema di rappresentare qualsiasi frazione come somma di frazioni unitarie.
Per esempio:

7 / 8  =  1  /  2  +  1 / 3  +  1 / 24

A questo scopo si usa l’algoritmo di Fibonacci:

Innanzitutto bisogna trovare la frazione unitaria il cui valore sia il più possibile vicino al valore della frazione data ed inferiore ad esso. Questa sarà la prima frazione unitaria del nostro sviluppo. Dato che:

7 / 8  =  0,875

Nel nostro caso questa frazione sarà  1 / 2  =  0,5

Si calcola la differenza tra la frazione data e quest’ultima frazione:

7 / 8  –  1 / 2  =  (7 – 4) / 8  =  3 / 8

Si reitera il procedimento:

3 / 8  =  0,375

La frazione unitaria il cui valore sia il più vicino possibile a 0,375 ed inferiore ad esso è  1 / 3  =  0,3333333 ….

Questa sarà la seconda frazione unitaria del nostro sviluppo.

Calcoliamo la nuova differenza:

3 / 8  –  1 / 3  =  (9 – 8) / 24  =  1 / 24

Siamo giunti ad una frazione unitaria, per cui il procedimento è terminato ed  1 / 24 sarà la terza ed ultima frazione unitaria del nostro sviluppo. Il risultato finale sarà:

7 / 8  =  1  /  2  +  1 / 3  +  1 / 24

Questa rappresentazione però non è unica e ciò dipende dall’identità:

1 / n  =  1 / (n+1)  +  1 / [n x (n+1)]

Se, per esempio, applichiamo questa identità all’ultima frazione, otteniamo:

1 / 24  =  1 / 25  +  1 / 600

Per cui un’altra rappresentazione di 7 / 8 in frazioni egiziane sarà:

7 / 8  =  1  /  2  +  1 / 3  +  1 / 25  +  1 / 600

come si può facilmente verificare.

Facciamo un altro esempio.

Si voglia esprimere la frazione  23 / 29 come somma di frazioni unitarie.

23 / 29  =  0,793103448….

La frazione unitaria inferiore a questo valore e più vicina ad esso è  1 / 2  =  0,5. (prima frazione unitaria)

Procediamo con l’algoritmo di Fibonacci:

23 / 29  –  1 / 2  =  (46 – 29) / 58  =  17 / 58  =  0,293103448….

La frazione unitaria inferiore a questo valore e più vicina ad esso è  1 / 4  =  0,25. (seconda frazione unitaria)

Reiteriamo:

17 / 58  –  1 / 4  =  (34 – 29) / 116  =  5 / 116  =  0,043103448….

La frazione unitaria inferiore a questo valore e più vicina ad esso è 1 / 24  =  0,04166666 ….. (terza frazione unitaria)
(per trovarla abbiamo proceduto per tentativi a partire da  1 / 20  che sapevamo essere 0,05).

Proseguiamo nel procedimento:

5 / 116  –  1 / 24  =  (30 – 29) / 696  =  1 / 696. (quarta frazione unitaria)

Siamo giunti ad una frazione unitaria, quindi il procedimento è terminato. In definitiva avremo:

23 / 29  =  1 / 2  +  1 / 4  +  1 / 24  +  1 / 696

Come si può facilmente verificare.