NUMERI SOMMA DI TRE QUADRATI CONSECUTIVI

I numeri somma di tre quadrati esatti consecutivi hanno forma:

N  =  3X² + 2

Infatti:

(X – 1)² + X² + (X + 1)²  =  X² – 2X  + 1 + X² + X² + 2X + 1  =  3X² + 2

Ad esempio, per X = 3, otteniamo  3*3² + 2  =  29 e:

29  =  2² + 3² + 4²

Per X = 7, otteniamo  3*7² + 2  =  149 e:

149  =  6² + 7² + 8²

I primi numeri di questa serie sono:

5, 14, 29, 50, 77, 110, 149, 194, 245, 302, 365, 434, 509, 590, 677, 770, 869, 974 ….

E’ interessante notare che ogni termine della serie può essere ricavato dai due che lo precedono:

N(i+2)  =  2*N(i+1) –N(i) +6

Ad esempio:

2*14 -5 + 6  =  29

2*29 – 14  + 6  =  50

2*50 – 29 + 6  =  77

2*77 – 50 + 6  =  110

2*110 – 77 + 6  =  149

Etc ….

E’ per ora solo una congettura che la serie contenga infiniti numeri primi:

29  =  2² + 3² + 4²

149  =  6² + 7² + 8²

509²  =  12² + 13² + 14²

677²  =  14² + 15² + 16²

Etc ….

E’ invece provato che la somma di 3 quadrati esatti consecutivi non può mai essere un quadrato esatto. 

Ricerchiamo adesso se l’equazione diofantea:

(X-1)² + X² +(X+1)² = (X+2)² + (X+3)²

Formata da 5 quadrati consecutivi, ha soluzione.

Dovrà essere:

3X² + 2  =  X² + 4X + 4 + X² + 6X + 9

X² – 10X – 11  =  0

Questa è un’equazione di secondo grado che ha soluzioni  -1  e  11.

Scartando la soluzione negativa otteniamo  X  =  11, da cui deriva la famosa relazione, conosciuta fin dall’antichità:

10²  +  11²  +  12²  =  13²  +  14²

Che è relativa all’11° numero della nostra serie:

365  =  3*11² + 2

Informazioni su giuseppemerlino

Ingegnere Chimico
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