I numeri somma di tre quadrati esatti consecutivi hanno forma:
N = 3X² + 2
Infatti:
(X – 1)² + X² + (X + 1)² = X² – 2X + 1 + X² + X² + 2X + 1 = 3X² + 2
Ad esempio, per X = 3, otteniamo 3*3² + 2 = 29 e:
29 = 2² + 3² + 4²
Per X = 7, otteniamo 3*7² + 2 = 149 e:
149 = 6² + 7² + 8²
I primi numeri di questa serie sono:
5, 14, 29, 50, 77, 110, 149, 194, 245, 302, 365, 434, 509, 590, 677, 770, 869, 974 ….
E’ interessante notare che ogni termine della serie può essere ricavato dai due che lo precedono:
N(i+2) = 2*N(i+1) –N(i) +6
Ad esempio:
2*14 -5 + 6 = 29
2*29 – 14 + 6 = 50
2*50 – 29 + 6 = 77
2*77 – 50 + 6 = 110
2*110 – 77 + 6 = 149
Etc ….
E’ per ora solo una congettura che la serie contenga infiniti numeri primi:
29 = 2² + 3² + 4²
149 = 6² + 7² + 8²
509 = 12² + 13² + 14²
677 = 14² + 15² + 16²
Etc ….
E’ invece provato che la somma di 3 quadrati esatti consecutivi non può mai essere un quadrato esatto.
Ricerchiamo adesso se l’equazione diofantea:
(X-1)² + X² +(X+1)² = (X+2)² + (X+3)²
Formata da 5 quadrati consecutivi, ha soluzione.
Dovrà essere:
3X² + 2 = X² + 4X + 4 + X² + 6X + 9
X² – 10X – 11 = 0
Questa è un’equazione di secondo grado che ha soluzioni -1 e 11.
Scartando la soluzione negativa otteniamo X = 11, da cui deriva la famosa relazione, conosciuta fin dall’antichità:
10² + 11² + 12² = 13² + 14²
Che è relativa all’11° numero della nostra serie:
365 = 3*11² + 2
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