Se ci chiedono “qual è la radice quadrata di 9?”, la maggioranza di noi risponde immediatamente “3” ed è giusto, infatti 3² = 9. Ma se riflettiamo un poco, aggiungiamo “un momento, c’è anche -3”, infatti anche (-3)² fa 9.
Il fatto è che, per risolvere questo problema, anche se inconsapevolmente, risolviamo l’equazione:
x² – 9 = 0
Questa è un’equazione di secondo grado. Ricordiamo che il grado di un’equazione è il massimo esponente dell’incognita x.
Ora, il Teorema Fondamentale dell’Algebra dice che un’equazione di grado n ammette n soluzioni ed infatti la nostra equazione di secondo grado ha due soluzioni.
Particolarmente interessante è il caso delle radici n-esime dell’unità. Esse sono le n soluzioni dell’equazione:
x^n – 1 = 0 (abbiamo usato il simbolo ^ per indicare “elevato a”).
Nel caso di n = 1, la radice prima di 1 sarà 1.
Nel caso di n = 2, avremo due radici seconde dell’unità: -1 e +1.
Per calcolare le radici terze dell’unità, dobbiamo risolvere l’equazione di terzo grado:
x³ – 1 = 0
A questo scopo sviluppiamo il prodotto notevole (x – 1)³ , cubo di un binomio:
(x – 1)³ = x³ – 3x² + 3x -1
Isoliamo (x³ -1) che sta al secondo membro:
x³ – 1 = (x – 1)³ + 3x² – 3x
x³ – 1 = (x – 1)³ + 3x(x – 1)
Mettiamo (x – 1) in evidenza nel secondo membro:
x³ – 1 = (x – 1) [(x – 1)² + 3x]
x³ – 1 = (x – 1) (x² – 2x + 1 + 3x)
x³ – 1 = (x – 1) (x² + x + 1)
Dunque, per risolvere l’equazione:
x³ – 1 = 0
Dobbiamo risolvere l’equazione:
(x – 1) (x² + x + 1) = 0
Dovrà essere:
(x – 1) = 0
x² + x + 1 = 0
La prima equazione ci da la prima radice cubica dell’unità che sarà 1
Applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado alla seconda equazione, troviamo le altre due radici cubiche dell’unità:
x = [-1 +/- √(1² – 4*1*1)] / 2
x = [-1 +/- √(1-4)] / 2
x = [-1 +/- √(-3)] / 2
A questo punto, dobbiamo introdurre l’unità immaginaria i = √(-1):
x = (-1 +/- i√3 )/ 2
Concludendo, le tre radici cubiche di 1 saranno:
1, (-1 – i√3) / 2 e (-1 + i√3) / 2
Più semplice è il calcolo delle radici quarte dell’unità. Si tratta di risolvere l’equazione:
x^4 – 1 = 0
(x² – 1) (x² + 1) = 0
(x – 1) (x + 1) (x² + 1) = 0
Cioè:
(x – 1) = 0
(x + 1) = 0
(x² + 1) = 0
Dalla prima e dalla seconda ricaviamo rispettivamente le soluzioni +1 e -1. Dalla terza:
x² = -1
otteniamo le altre due soluzioni i e -i, infatti, sia i² che (-i)² danno -1.
Lasciamo al paziente lettore il calcolo delle radici n-esime dell’unità nei casi di n>4 ….
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