IL NUMERO DI EULERO (e)

Il Numero di Eulero (e), detto anche Numero di Nepero, è, insieme a pi greco, una delle più importanti costanti della Matematica.
Come pi greco, questo numero è irrazionale (non può essere espresso sotto forma di frazione) e trascendente (non è soluzione di nessuna equazione polinomiale a coefficienti razionali). Le sue infinite cifre decimali sono distribuite completamente a caso e non presentano alcun periodo:

2,718281828459045235360287471352662497757247093699959
57496696762772407663035354759457138217852516642742746
63919320030599218174135966290435729003342952605956307
38132328627943490763233829880753195251019011573834187
93070215408914993488416750924476146066808226480016847
74118537423454424371075390777449920695517027618386062
6133138458300075204493382656029760……

Per calcolare il valore di questo numero, esistono essenzialmente 2 metodi.
Il primo si basa sull’espressione  (1 + 1/n)^n  (il simbolo  ^  indica “elevato a”).
Più grande è n, più questa espressione approssima il valore di e.
Per esempio,
per  n = 1.000, troviamo il valore 2,7169239322358924573830881219476….
per  n = 10.000, troviamo il valore 2,7181459268252248640376646749131….
per  n = 100.000 troviamo il valore 2,718268237174489668035064824426….
per  n = 1.000.000 troviamo il valore 2,7182804693193768838197997084544….
e così via.
Si può dunque affermare che il valore numerico di e è il limite, per n tendente all’infinito, dell’espressione  (1 + 1/n)^n:

Il secondo metodo si basa su di un’identità che coinvolge i fattoriali.
Dato un numero intero N, si definisce fattoriale di N e si indica con N! il prodotto dei primi n numeri interi positivi da 1 fino ad N.
Per esempio: 6! = 1x2x3x4x5x6 = 720.
Nel caso di e vale questa bella ed elegante relazione  (0! si pone per convenzione eguale ad 1):

Abbiamo detto che e non può essere espresso sotto forma di frazione, ma, col metodo delle frazioni continue, si possono ricavare frazioni che approssimano sempre meglio il suo valore.
Nella figura seguente mostriamo le prime frazioni che abbiamo ricavato con un programma al computer:

Il numero e compare spesso in Matematica, Fisica e perfino Economia ed inoltre viene usato come base dei Logaritmi Naturali.
Inoltre e appare nella meravigliosa identità di Eulero che lega tra loro tre costanti che riguardano aspetti diversissimi dell’Analisi Matematica: e, l’unità immaginaria i e pi greco: