In questa nota aggiungiamo alcuni complementi all’articolo sui Numeri Triangolari:
https://giuseppemerlino.wordpress.com/2010/12/30/numeri-triangolari/
Qui ci limitiamo a ricordare che un Numero Triangolare S(n) è la somma dei primi n numeri naturali ed è espresso dalla formula:
S(n) = n(n + 1) / 2 = (n² + n) / 2
Denomineremo semplicemente con S un numero triangolare ed useremo la notazione S(n) solo quando occorra.
1] LA SOMMA DI 2 NUMERI TRIANGOLARI CONSECUTIVI E’ UN QUADRATO ESATTO.
Infatti:
S(n) + S(n+1) =
= (n² + n) / 2 + [(n + 1)² + (n + 1)] / 2 =
= (n² + n + n² + 2n +1 + n +1) / 2 =
= (2n² + 4n + 2) / 2 =
= n² + 2n + 1 =
= (n + 1)²
Esempio:
S(6) + S(7) = 21 + 28 = 49 = 7²
2] TUTTI I QUADRATI DEI NUMERI DISPARI HANNO LA FORMA 8S + 1.
Infatti:
(2n + 1)²
= 4n² + 4n +1 =
= 4(n² + n) + 1 =
= 8(n² + n) / 2 +1 =
= 8S(n) + 1
Esempio:
7² = 49 = 8*6 + 1 = 8S(3) + 1
3] I NUMERI SOMMA DI DUE QUADRATI ESATTI CONSECUTIVI HANNO LA FORMA 4S+1.
Infatti:
n² + (n + 1)² =
= n² + n² + 2n + 1 =
= 2n² + 2n + 1 =
= 2(n² + n) + 1 =
= 4(n² + n) / 2 + 1 =
= 4S(n) + 1
Esempio:
41 = 4² + 5² = 4*S(4) + 1 = 4*10 + 1
4] I NUMERI DIFFERENZA DI DUE CUBI CONSECUTIVI HANNO LA FORMA 6S + 1.
Infatti:
(n + 1)³ – n³ =
= n³ + 3n² + 3n + 1 – n³ =
= 3n² + 3n + 1 =
= 3(n² + n) + 1 =
= 6(n² + n) / 2 + 1 =
= 6S(n) + 1
Esempio:
61 = 5³ – 4³ = 125 – 64 = 6S(4) + 1 = 6*10 + 1
5] IL QUADRATO DELL’ N-SIMO NUMERO TRIANGOLARE S(N) E’ UGUALE ALLA SOMMA DEI PRIMI N CUBI CONSECUTIVI.
Esempio:
[s(5)]² = 15² = 225 = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ =
= 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225
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