L’IPOTESI DI RIEMANN

In questa nota useremo il simbolo ^ per indicare “elevato a” ed il simbolo * per indicare la moltiplicazione.

Eulero chiamò funzione zeta la somma infinita:

Zeta(x)  =  1 + 1/(2^x)  +  1/(3^x)  +  1/(4^x)  +  1/(5^x)  +  1(6^x)  +  1/(7^x)  +  1/(8^x)  + …..

Egli notò che, per valori di x interi e maggiori di 1, la serie è convergente, cioè, sommando i suoi infiniti termini, si giunge ad un valore finito.

Per esempio, per x = 2, il valore di questa serie è π²/6.

Lo stesso Eulero scoprì poi che questa funzione era misteriosamente legata ai numeri primi, infatti dimostrò che:

Zeta(x)  =  [2^x/(2^x-1)]* [3^x/(3^x-1)]* [5^x/(5^x-1)]* [7^x/(7^x-1)]* [11^x/(11^x-1)] …..

Cioè:

Riemann estese lo studio di questa funzione zeta prendendo come esponente x qualunque numero complesso con parte reale maggiore di 1 e non più solo numeri interi maggiori di 1.

Ricordiamo che un numero complesso è un numero del tipo  A + Bi, nel quale i è l’unità immaginaria, cioè la radice quadrata di -1. In un tale numero, A è la parte reale e Bi è la parte immaginaria.
Per estendere la funzione Zeta nel campo complesso occorrono passaggi algebrici piuttosto complessi, per cui riportiamo solo il risultato finale a cui Riemann giunse.

Ricordiamo che si definisce zero di una funzione quel valore della x per cui la funzione si annulla.
Riemann trovò per la funzione Zeta estesa nel campo complesso infiniti zeri che definì “banali” (gli interi pari negativi), ma scoprì un’infinità di zeri “non banali”. Questi ultimi avevano tutti la parte reale uguale ad ½.

L’ipotesi di Riemann è che tutti gli zeri non banali della funzione Zeta abbiano appunto parte reale ½ e ciò aprirebbe una spiraglio sul millenario ed irrisolto problema della distribuzione dei numeri primi.