Un numero primo P viene detto numero primo di Sophie Germain se anche il numero 2P + 1 è primo.
Ad esempio, 41 è un numero di Sophie Germain in quanto 2×41 + 1 = 83 è anch’esso un numero primo.
Che il numero dei numeri primi di Sophie Germain sia infinito è soltanto una congettura. In effetti, finora, questa tesi non è stata ancora dimostrata, ma sembra molto verosimile, dato che vengono trovati numeri primi di Sophie Germain sempre più grandi.
Tra 1 e 1000, troviamo 37 numeri di Sophie Germain. Indichiamo in parentesi il corrispondente numero primo 2P + 1.
2(5), 3(7), 5(11), 11(23), 23(47), 29(59), 41(83), 53(107), 83(167), 89(179), 113(227), 131(263), 173(347), 179(359),
191(383), 233(467), 239(479), 251(503), 281(563), 293(587), 359(719), 419(839), 431(863), 443(887), 491(983), 509(1019), 593(1187), 641(1293), 653(1307), 659(1319), 683(1367), 719(1439), 743(1487), 761(1523), 809(1619), 911,(1823) e 953(1907).
Considerando che il numero dei numeri primi tra 1 e 1000 è 168, notiamo che ben il 22% di questi sono numeri di Sophie Germain.
Se però consideriamo i numeri primi fino a 100.000, questa percentuale scende al 12,2%; fino a 10.000.000 all’8,43%; fino a 100.000.000 al 7,34%; fino a 1.000.000.000 al 6,5% e così via.
Tutti i numeri primi di Sophie Germain sono della forma 6N + 5 e così pure i corrispondenti numeri primi 2P +1.
Considerando per esempio il numero primo di Sophie Germain 89 ed il suo corrispondente 179, avremo:
89 = 6×14 + 5 e 179 = 6×29 + 5
Si noti che non è affatto vero il contrario, cioè che un numero primo della forma 6N + 5 sia un numero primo di Sophie Germain.
Per esempio il numero primo 47 = 6×7 + 5 non è un numero di Sophie Germain, in quanto 2×47 + 1 = 95 non è un numero primo (95 = 5×19)
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