PERMUTAZIONI SEMPLICI:
Consideriamo un insieme di 4 elementi (a,b,c,d).
Disponiamo questi 4 elementi in tutti i modi possibili:
abcd abdc acbd acdb adbc adcb
bacd badc bcad bcda bdac bdca
cabd cadb cbad cbda cdab cdba
dabc dacb dbac dbca dcab dcba
Osserviamo che ci sono 24 modi diversi di disporre questi 4 elementi. Questi 24 gruppi vengono chiamati “permutazioni semplici”.
In generale, dati n elementi, si dicono permutazioni semplici P(n), tutti i gruppi che si possono formare con questi n elementi in modo che ogni gruppo contenga tutti gli n elementi e differisce da un altro solo per l’ordine degli elementi.
Il numero delle permutazioni semplici di n elementi è n!
P(n) = n!
Ricordiamo che col simbolo n! si intende il prodotto dei primi n numeri naturali consecutivi.
Nell’esempio precedente avremo:
P(n) = P(4) = 4! = 1x2x3x4 = 24
Per un insieme di 3 elementi, avremo:
P(3) = 3! = 1x2x3 = 6
Infatti i gruppi ottenuti applicando i criteri esposti saranno:
abc acb bac bca cab cba
COMBINAZIONI SEMPLICI:
Consideriamo sempre il nostro insieme di 4 elementi (a,b,c,d) e stavolta fissiamo un numero minore o uguale a 4, per esempio 2.
Osserviamo che esistono 6 gruppi diversi di questi elementi presi 2 a 2:
ab ac ad bc bd cd
Se invece come numero fissiamo 3, otteniamo 4 gruppi diversi:
abc abd acd bcd
Questi gruppi vengono chiamati “combinazioni semplici”.
In generale, dato un insieme di n elementi e, fissato un numero k minore o uguale ad n, si definiscono combinazioni semplici di questi n elementi, presi k a k, C(n,k), tutti i gruppi che possiamo formare con questi n elementi in modo che ciascun gruppo sia formato da k elementi e ogni gruppo differisca dall’altro almeno per un elemento.
Il numero delle combinazioni semplici di n elementi, presi k a k, è dato da:
C(n,k) = n! / [k! (n-k)!]
Nei nostri 2 esempi:
C(4,2) = 4! / [2! (4-2)!] = 24 / 4 = 6
C(4,3) = 4! / [3! (4-3)!] = 24 / 6 = 4
Applichiamo queste formule ad un esempio reale:
Se gioco 5 numeri al Lotto, quanti ambi, terni e quaterne si formano?
Ambi: C(5,2) = 5! / [2! (5-2)!] = 120 / 12 = 10
Terni: C(5,3) = 5! / [3! (5-3)!] = 120 / 12 = 10
Quaterne: C(5,4) = 5! / [4! (5-4)!] = 120 / 24 = 5
DISPOSIZIONI SEMPLICI:
Differiscono dalle combinazioni semplici perchè, in questo caso, sono considerati gruppi diversi anche quelli che differiscono solo per l’ordine degli elementi, per esempio ab e ba.
Consideriamo sempre il nostro insieme costituito da 4 elementi (a,b,c,d) e scriviamo le disposizioni semplici di questi 4 elementi presi 2 a 2:
ab ba ac ca ad da bc cb bd db cd dc
Le disposizioni semplici di n elementi, presi k a k, sono date dalla formula:
D(n,k) = n! / [(n-k)!]
Nell’esempio precedente:
D(4,2) = 4! / [(4-2)!] = 24 / 2 = 12
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