In questa breve nota daremo alcune soluzioni di equazioni diofantee di grado superiore al primo.
Innanzitutto ricordiamo brevemente la soluzione che riguarda le terne pitagoriche:
A² = B² + C²
Soluzione:
A = M² + N²
B = M² – N²
C = 2MN
Con M ed N numeri interi ed M>N.
Per esempio, con M =7 ed N = 2, otteniamo:
53² = 45² + 28²
Consideriamo ora l’equazione diofantea:
A³ = B² + C²
Questa equazione ha due soluzioni.
La prima è:
A = M² + N²
B = M(M² + N²)
C = N(M² + N²)
E la seconda, meno banale:
A = M² + N²
B = M³ – 3MN²
C = 3M²N – N³
Ad esempio, con M = 2 ed N = 1, otteniamo le due soluzioni:
5³ = 10² + 5²
5³ = 2² + 11²
E, ancora, con M = 5 ed N = 2, otteniamo le due soluzioni:
29³ = 145² + 58²
29³ = 65² + 142²
Passiamo ora all’equazione diofantea:
A² = B² + C² + D²
La soluzione è:
A = P² + Q² + R²
B = P² + Q² – R²
C = 2PR
D = 2QR
Per esempio, con P = 4, Q = 3 ed R = 2, otteniamo:
29² = 21² + 16² + 12²
Mentre con P = 6, Q = 2 ed R = 1, otteniamo:
41² = 39² + 12² + 4²
Si conoscono due soluzioni anche per l’equazione diofantea:
A³ = B³ + C³ + D³
Esse sono:
A = M(M³ + N³)
B = N(M³ + N³)
C = M(M³ – 2N³)
D = N(2M³ – N³)
e:
A = M(M³ + 2N³)
B = M(M³ – N³)
C = N(M³ – N³)
D = N(2M³ + N³)
Ad esempio, con M = 3 ed N = 2, otteniamo:
105³ = 70³ + 33³ + 92³
129³ = 57³ + 38³ + 124³
Altre equazioni diofantee notevoli sono trattate in questi articoli:
https://giuseppemerlino.wordpress.com/2010/10/25/terne-pitagoriche/
https://giuseppemerlino.wordpress.com/2010/11/16/equazione-diofantea-p-p-x%C2%B2-y%C2%B2/
https://giuseppemerlino.wordpress.com/2011/03/28/10%C2%B2-11%C2%B2-12%C2%B2-13%C2%B2-14%C2%B2-365/
https://giuseppemerlino.wordpress.com/2012/02/08/numeri-primi-e-quadrati-esatti/
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