QUADRATI IN PROGRESSIONE

Nella successione dei quadrati esatti:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169 …..

si possono  trovare delle terne di quadrati esatti (A², B², C²) che sono in progressione aritmetica cioè tali che:

(B² – A²) = (C² – B²) = r

Come, per esempio:

(1, 25, 49)  con r = 24

(49, 169, 289)  con r = 120

(49, 289, 529)  con r = 240

(289, 625, 961) con r = 336

(1, 841, 1681)  con r = 840

Si noti che la differenza comune r è sempre multipla di 24.

Il matematico francese Frenicle (1605 -1675) trovò le formule per generare queste terne:

Se:

A = m² – n² – 2mn

B = m² + n²

C = m² – n² + 2mn

Allora i tre quadrati esatti A², B², C² sono in progressione aritmetica.

Ad esempio, scegliendo m=3 ed n=2, otteniamo:

A  =  9 – 4 – 12  =  -7  (prendiamo il valore assoluto 7)

B  =  9 + 4  =  13

C  =  9 – 4 + 12  =  17

Da cui:

A² = 7² = 49

B² = 13² = 169

C² = 17² = 289

La terna  (49, 169, 289)  sarà in progressione aritmetica con ragione r = 120.

Successivamente Fermat dimostrò che non esistono 4 quadrati esatti in progressione aritmetica.