FRAZIONI GENERATRICI DI NUMERI PERIODICI

I numeri definiti dal rapporto di due numeri interi, e quindi esprimibili sotto forma di frazione, vengono chiamati “Numeri Razionali”.
Possiamo suddividere i Numeri Razionali in tre categorie:

1) Numeri decimali limitati, nei quali la parte decimale ha un numero finito di cifre, per esempio:

2,75  –  7,4  –  4,623

2) Numeri decimali periodici semplici, nei quali la parte decimale è costituita da una cifra o da un gruppo di cifre che si ripetono infinitamente, per esempio:

5,333333333333…..  –  8,646464646464……  –  2,723723723723…….

Nel primo esempio il periodo è 3, nel secondo è 64 e nel terzo 723.
Li potremmo scrivere così:
5,(3…)  –  8,(64…)  –  2,(723…)  

3) Numeri decimali periodici misti, nei quali la parte decimale è costituita da una parte periodica semplice, detta “periodo”, preceduta da una parte costituita da una o più cifre che non si ripetono, detta “antiperiodo”, per esempio:

2,473333333333…..  –  7,2515151515151…..

Nel primo esempio 47 è l’antiperiodo e 3 è il periodo. Nel secondo esempio 2 è l’antiperiodo e 51 il periodo.
Li potremmo scrivere così:
2,47(3…)  –  7,2(51…)

I numeri non definibili dal rapporto di due numeri interi vengono invece chiamati “Numeri Irrazionali”: la loro parte decimale non ha mai termine e non presenta nessuna sequenza periodica.
Esempi “illustri” di numeri irrazionali sono:

Pi Greco  =   3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209 ……

Radice Quadrata di 2  = 1,41421356237309504880168872420969807856967187537…….

e, base dei logaritmi naturali  =  2,718281828459045235360287471352662497757247……

Fatta questa doverosa premessa, vediamo come trasformare un numero decimale nella sua frazione generatrice.

1) Numeri decimali limitati:

Il numeratore della frazione generatrice sarà tutto il numero scritto senza la virgola.
Il denominatore si ottiene scrivendo il numero 1, seguito da tanti zeri, quante sono le cifre dopo la virgola. Poi, se necessario, la frazione va semplificata.

Esempio:  2,75

Numeratore  =  275
Denominatore  =  100

La frazione generatrice di 2,75 sarà  275 / 100  che, semplificata, viene  11 /  4

La semplificazione è stata ottenuta dividendo numeratore e denominatore per 25.

2) Numeri decimali periodici semplici:

Il numeratore sarà costituito da tutto il numero scritto senza la virgola, al quale va sottratto il numero formato dalle cifre prima della virgola.
Il denominatore sarà formato da tanti  9  quante sono le cifre del periodo.

Esempio:  13,4545454545454545…….  =  13,(45…)

Numeratore  =  1345 – 13  =  1332
Denominatore  =  99

La frazione generatrice di  13,4545454545…. sarà  1332 / 99  che, semplificata, viene  148 / 11

La semplificazione è stata ottenuta dividendo numeratore e denominatore per 9.

3) Numeri decimali periodici misti:

Il numeratore sarà costituito da tutto il numero scritto senza la virgola, al quale va sottratto il numero formato dalle cifre prima della virgola e quelle dell’antiperiodo.
Il denominatore sarà formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguite da tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo.

Esempio:  7,2955555555555….  =  7,29(5…)

Numeratore  =  7295 – 729  =  6566
Denominatore  =  900

La frazione generatrice di 7,295555555555…… sarà  6566 / 900  che, semplificata, viene  3283 / 450

La semplificazione è stata ottenuta dividendo numeratore e denominatore per 2.

Per quanto riguarda i numeri irrazionali, non è possibile trovare una frazione generatrice, ma si possono trovare frazioni che li approssimano in modo sempre più preciso.

L’argomento è trattato in questi articoli:

https://giuseppemerlino.wordpress.com/2012/01/11/frazioni-approssimanti-radical-due/

https://giuseppemerlino.wordpress.com/2011/05/08/pi-greco/

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Ingegnere Chimico
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