NUMERI PRIMI E QUADRATI ESATTI

I numeri primi della forma  4N+1 sono esprimibili in uno ed un solo modo come somma di due quadrati esatti  P = X² + Y².
I numeri primi della forma  4N+3  non sono esprimibili come somma di due quadrati esatti.
Un numero composto è esprimibile come somma di due quadrati esatti se e solo se nella sua scomposizione in fattori primi appaiono solo numeri primi della forma  4N+1 e fattori primi della forma  4N+3  elevati a potenza pari.
In particolare, un numero composto N, prodotto dei due numeri primi:
P1  =  A² + B²
P2  =  C² + D²
Risulterà esprimibile in due modi come somma di due quadrati esatti:
N  =  P1*P2  =  ( AC + BD)² + (AD – BC)²
N  =  P1*P2  =  (AC – BD)²  +  (AD + BC)²
Ad esmpio, sia:
N  =  533  =  13*41
Essendo:
13  =  2² + 3²
41  =  4² + 5²
Avremo:
533  =  (2*4 + 3*5)² + (2*5 – 3*4)²  =  23² + (-2)²  =  23² + 2²
533  =  (2*4 – 3*5)² + (2*5 + 3*4)²  =  (-7)² + 22²  =  7² + 22²
Un numero primo è esprimibile nella forma:
P  =  X² + 2Y²
Se e solo se è della forma  8N + 1  oppure  8N + 3.
“I numeri primi che sono rappresentabili come somma di un quadrato esatto e del doppio di un quadrato esatto sono tutti e soli quelli della forma  8N + 1  ed  8N + 3. In ogni caso tale rappresentazione è unica”.
Un numero primo è esprimibile come:
P  =  X² + 3Y²
Se e solo se è della forma  6N + 1.
“I numeri primi che sono rappresentabili come somma di un quadrato esatto e del triplo di un quadrato esatto sono tutti e soli quelli della forma  6N + 1. In ogni caso tale rappresentazione è unica”.
Un numero primo è esprimibile nella forma:
P  =  X² + 5Y²
Se e solo se è della forma  20N + 1  oppure  20N + 9.
“I numeri primi che sono rappresentabili come somma di un quadrato esatto e del quintuplo di un quadrato esatto sono tutti e soli quelli della forma  20N + 1  ed  20N + 9. In ogni caso tale rappresentazione è unica”.
Un numero primo è esprimibile come somma di tre quadrati esatti:
P  =  X² + Y² + Z²
Se e solo se non è della forma  8N+7.
Tutti i numeri primi sono esprimibili come somma di quattro quadrati esatti (non sempre tutti diversi da zero):
P  =  X² + Y² + Z² + W²
D’altra parte questo teorema vale per tutti i numeri interi.
Tutti i numeri primi sono esprimibili in uno ed un solo modo nella differenza di due quadrati esatti:
P  =  X² – Y²
E risulterà:
X  =  (P + 1) / 2
Y  =  (P – 1) / 2

Infine, se P è un numero primo della forma 4N+1, per cui:
P  =  X² + Y²
Risulterà:
2P  =  (X – Y)² + (X + Y)²
e:
P²  =  (X² – Y²)² + (2XY)²