I numeri primi della forma 4N+1 sono esprimibili in uno ed un solo modo come somma di due quadrati esatti P = X² + Y².
I numeri primi della forma 4N+3 non sono esprimibili come somma di due quadrati esatti.
Un numero composto è esprimibile come somma di due quadrati esatti se e solo se nella sua scomposizione in fattori primi appaiono solo numeri primi della forma 4N+1 e fattori primi della forma 4N+3 elevati a potenza pari.
In particolare, un numero composto N, prodotto dei due numeri primi:
P1 = A² + B²
P2 = C² + D²
Risulterà esprimibile in due modi come somma di due quadrati esatti:
N = P1*P2 = ( AC + BD)² + (AD – BC)²
N = P1*P2 = (AC – BD)² + (AD + BC)²
Ad esmpio, sia:
N = 533 = 13*41
Essendo:
13 = 2² + 3²
41 = 4² + 5²
Avremo:
533 = (2*4 + 3*5)² + (2*5 – 3*4)² = 23² + (-2)² = 23² + 2²
533 = (2*4 – 3*5)² + (2*5 + 3*4)² = (-7)² + 22² = 7² + 22²
Un numero primo è esprimibile nella forma:
P = X² + 2Y²
Se e solo se è della forma 8N + 1 oppure 8N + 3.
“I numeri primi che sono rappresentabili come somma di un quadrato esatto e del doppio di un quadrato esatto sono tutti e soli quelli della forma 8N + 1 ed 8N + 3. In ogni caso tale rappresentazione è unica”.
Un numero primo è esprimibile come:
P = X² + 3Y²
Se e solo se è della forma 6N + 1.
“I numeri primi che sono rappresentabili come somma di un quadrato esatto e del triplo di un quadrato esatto sono tutti e soli quelli della forma 6N + 1. In ogni caso tale rappresentazione è unica”.
Un numero primo è esprimibile nella forma:
P = X² + 5Y²
Se e solo se è della forma 20N + 1 oppure 20N + 9.
“I numeri primi che sono rappresentabili come somma di un quadrato esatto e del quintuplo di un quadrato esatto sono tutti e soli quelli della forma 20N + 1 ed 20N + 9. In ogni caso tale rappresentazione è unica”.
Un numero primo è esprimibile come somma di tre quadrati esatti:
P = X² + Y² + Z²
Se e solo se non è della forma 8N+7.
Tutti i numeri primi sono esprimibili come somma di quattro quadrati esatti (non sempre tutti diversi da zero):
P = X² + Y² + Z² + W²
D’altra parte questo teorema vale per tutti i numeri interi.
Tutti i numeri primi sono esprimibili in uno ed un solo modo nella differenza di due quadrati esatti:
P = X² – Y²
E risulterà:
X = (P + 1) / 2
Y = (P – 1) / 2
Infine, se P è un numero primo della forma 4N+1, per cui:
P = X² + Y²
Risulterà:
2P = (X – Y)² + (X + Y)²
e:
P² = (X² – Y²)² + (2XY)²
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