FRAZIONI APPROSSIMANTI RADICAL DUE

La radice quadrata di 2 è quel numero che, moltiplicato per se stesso, da 2.
Questo è un numero irrazionale, cioè non può essere espresso sotto forma di frazione e la sequenza delle sue cifre decimali è infinita e non presenta nessuna periodicità:
√2 = 1,4142135623730950488016887242……..
Possiamo facilmente costruire questo numero geometricamente, infatti esso è la diagonale di un quadrato il cui lato misuri 1.
Infatti, applicando il Teorema di Pitagora ad un quadrato di lato 1, otteniamo:

(Diagonale)² = 1² + 1²
(Diagonale)  = √(1² + 1²)
(Diagonale)  =  √(1 + 1)
(Diagonale)  =  √2

Esiste un metodo molto semplice per ottenere delle frazioni che generano √2 con sempre maggiore precisione:
La prima frazione è  1/1 e, ciascuna frazione successiva si ottiene dalla precedente  a/b  applicando la formula  (a + 2b)/(a + b).
Quindi la seconda frazione sarà:

(1 + 2 x 1) / (1 + 1)  =  3/2 = 1,5

La successiva:

(3 + 2 x 2) / (3 + 2)  =  7/5 = 1,4

E ancora:

(7 + 2 x 5) / (7 + 5)  =  17/12 = 1,4166666…

Continuando nel nostro procedimento, otterremo:

41 / 29  =  1,41379310344828….
99 / 70  =  1,41428571428571….
239 / 169  =  1,41420118343195…..
577 / 408  =  1,41421568627451…..
1393 / 985  =  1,41421319796954….
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131836323 / 932223358   =  1,4142135623731….
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La radice quadrata di 2 è anche esprimibile sotto forma di frazione continua infinita: