I numeri di Armstrong sono numeri tali che la somma delle n cifre che li costituiscono, ciascuna elevata ad n, è uguale al numero stesso.
Per n = 3 esistono 4 numeri di Armstrong:
153 = 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27
370 = 3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0
371 = 3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1
407 = 4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343
Per n = 4 esistono 3 numeri di Armstrong:
1634 = 14 + 64 + 34 + 44 = 1 + 1296 + 81 + 256
8208 = 84 + 24 + 04 + 84 = 4096 + 16 + 0 + 4096
9474 = 94 + 44 + 74 + 44 = 6561 + 256 + 2401 + 256
Per n = 5 esistono 3 numeri di Armstrong:
54748 = 55 + 45 + 75 + 45 + 85 = 3125 + 1024 + 16807 + 1024 + 32768
92727 = 95 + 25 + 75 + 25 + 75 = 59049 + 32 + 16807 + 32 + 16807
93084 = 95 + 35 + 05 + 85 + 45 = 59049 + 243 + 0 + 32768 + 1024
Per n = 6 esiste un solo numero di Armstrong:
548834 = 56 + 46 + 86 + 86 + 36 + 46 = 15625 + 4096 + 262144 + 262144 + 729 + 4096
Per n = 7 esistono 4 numeri di Armstrong, per n = 8 ne esistono 3, per n = 9 ne esistono 4 e fino ad n = 39 ne sono stati trovati 88.
Il più piccolo numero di Armstrong (153), oltre ad essere uguale alla somma dei cubi delle sue cifre gode di altre particolari proprietà:
La somma delle sue cifre è un quadrato esatto: 1 + 5 + 3 = 9 = 3²
La somma dei suoi divisori propri è un quadrato esatto: 1 + 3 + 9 + 17 + 51 = 81 = 9²
Esso è la somma dei primi 17 numeri naturali : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 = 153
Esso è la somma dei primi 5 fattoriali: 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 = 153
Esso è divisibile per la somma delle sue cifre: 153 / (1 + 5 + 3) = 153 / 9 = 17
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