ESPRESSIONE DI UN INTERO COME DIFFERENZA DI 2 QUADRATI ESATTI

ESPRESSIONE DI UN NUMERO INTERO COME DIFFERENZA DI 2 QUADRATI ESATTI:

N  =  X² – Y²

Se d è un divisore di N inferiore a  √N, allora una soluzione di questa equazione sarà:

X  =  (N + d²)/(2d)

Y  =  (N – d²)/(2d)

Dovremo però accettare solo i valori interi di X ed Y.

Ad esempio, sia  N  =  48:

I divisori di 48 sono:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 e 48.

Poiché  √48  =  6,92820323…..

Dovremo prendere in considerazione solo 1, 2, 3, 4 e 6.
Applicando le formule, osserviamo che per  d = 1  e  d = 3  otteniamo valori non interi per X ed Y, per cui l’equazione avrà 3 soluzioni:

per d=2  avremo  48 = 13² – 11²

per d=4  avremo  48 = 8² – 4²

per d=6  avremo  48 = 7² – 1²

In particolare se N è un numero primo, l’unico divisore d sarà 1, per cui potremo asserire che un numero primo è sempre esprimibile in uno ed un solo modo come differenza di 2 quadrati esatti:

P  =  X² – Y²

X  =  (P + 1)/2

Y  =  (P – 1)/2

Ad esempio:

29  =  15² – 14²

Questa considerazione si può estendere notando che tutti i numeri dispari N avranno almeno una soluzione.

Per quanto riguarda i numeri pari dobbiamo invece notare che quelli che, divisi per 2, danno un numero dispari, non hanno soluzioni.