SEQUENZE ALIQUOT

Una sequenza aliquot è una successione di numeri interi tale che ogni termine della serie è la somma dei divisori propri del termine precendente.
I divisori propri di un numero sono tutti i divisori di quel numero, tranne il numero stesso.
Ad esempio la sequenza aliquot generata dal numero 44 sarà:
44, 40, 50, 43, 1.
In dettaglio: I divisori propri di 44 sono 1, 2, 4, 11 e 22.
Il termine successivo della sequenza sarà 40, perchè 1+2+4+11+22 = 40.
I divisori propri di 40 sono: 1, 2, 4, 5, 8, 10 e 20, per cui il terzo termine della successione sarà 50, dato che 1+2+4+5+8+10+20 = 50.
I divisori propri di 50 sono: 1, 2, 5, 10 e 25 per cui il termine successivo della serie sarà 43, dato che 1+2+5+10+25 =  43.
43 è un numero primo ed il suo unico divisore proprio è 1.
La maggioranza delle sequenze aliquot termina con 1.
Partiamo invece adesso dal numero 12496. Otterremo questa sequenza (risparmio al lettore le somme dei divisori):
12496, 14288, 15472, 14536, 14264, 12496 ….
La sequenza torna al numero iniziale! Questo tipo di sequenza aliquot viene definita sequenza di numeri socievoli (sociable numbers).
Qui ce ne è un’altra, formata da ben 28 termini diversi.
14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716, 14316…..
Possiamo anche trovare sequenze aliquot formate da due soli termini, come:
220,284,220….  –  1184,1210,1184….  –  2620,2924,2620….  –  5020,5564,5020….  etc…
In tal caso i due termini della serie vengono chiamati numeri amici ed ognuno è la somma dei divisori dell’altro.
Infine vi sono rare sequenze aliquot formate da un solo numero:
6,6….  –  28,28….  –  496,496….  –  8128,8128….  –  33550336,33550336,,,,  etc…
In tal caso siamo in presenza dei famosi numeri perfetti, numeri uguali alla somma dei loro divisori propri.
In qualche raro caso, anche se il numero di partenza non è ne perfetto, ne amico, ne socievole, la sequenza va a terminare con con un numero perfetto o con due numeri amici o con una serie di numeri socievoli. Ciò accade per esempio per il numero 95 che genera la sequenza: 95, 25, 6, 6……
Abbiamo dunque individuato cinque tipi di sequenze aliquot e la congettura di Catalan asserisce che questi sono gli unici.
Esistono però alcuni rari numeri che sembrano sfuggire a questa congettura: le loro sequenze aliquot, almeno per quanto se ne sa fin’ora, sembrano non terminare mai. I primi di essi sono: 276, 552, 564, 660 e 966.  Per questi numeri sono stati calcolati decine di migliaia di termini della loro sequenza aliquot, ma ancora non si è riusciti a stabilire se questa sequenza alla fine terminerà in uno dei modi predetti o proseguirà all’infinito.

ARTICOLO CORRELATO:
NUMERI AMICI, PERFETTI E NUMERI DI MERSENNE:
https://giuseppemerlino.wordpress.com/2010/10/25/numeri-amici-perfetti-e-n-di-mersenne/