Un numero palindromo è un numero che ha lo stesso valore sia letto da sinistra che da destra. Ad esempio sono numeri palindromi 1331, 52725, 89498 e 41814.
I numeri palindromi non sono molto frequenti: fino ad un milione se ne trovano 1998.
I numeri palindromi sono collegati ad una misteriosa proprietà:
Si consideri un numero intero qualsiasi. Gli si sommi lo stesso numero, però scritto da destra verso sinistra. Si ripeta l’operazione sul numero ottenuto e così via. Nella maggioranza dei casi, si giungerà ad un numero palindromo.
Ad esempio, partiamo dal numero 4893 ed applichiamo il procedimento:
4893 + 3984 = 8877
8877 + 7788 = 16665
16665 + 56661 = 73326
73326 + 62337 = 135663
135663 + 366531 = 502194
502194 + 491205 = 993399
Come si vede, in sei reiterazioni, si giunge al numero palindromo 993399.
Nella stragrande maggioranza dei casi, questo procedimento porta sempre ad un numero palindromo, ma vi sono alcuni rari numeri per i quali la proprietà non sembra verificata. Il più piccolo di essi è il numero 196: per questo numero sono state fatte migliaia e migliaia di iterazioni che coinvolgono numeri con un numero di cifre enormi, ma, finora, non si è giunti ad un numero palindromo.
Resta ancora aperta la questione se anche il numero 196 giungerà alla fine ad un numero palindromo o se effettivamente esistono pochissimi numeri per i quali la proprietà non sia verificata.
Per questi numeri, il palindromo finale del procedimento non esiste o è talmente grande che non è stato ancora trovato?
Ovviamente tutti i numeri generati applicando il procedimento “reverse and add” al numero 196, non giungono, almeno per quanto se ne sa finora, ad un palindromo. I primi di essi sono: 887, 1675, 7436, 13783 etc….
Dopo il 196, il più piccolo numero per il quale il procedimento non genera un palindromo è 295, ma si noti che 295 + 592 = 887, cioè questo numero si “immette” (diciamo così) nella serie del 196.
In ogni caso, tutti i numeri per i quali, applicando la reiterazione, non si giunge ad un palindromo (o non è stato ancora trovato), vengono denominati numeri di Lychrel. Il nome è un anagramma di Cheril, nome della fidanzata del matematico Van Landingham, che ha indagato a fondo su questo problema.
Sospetti numeri di Lychrel “genuini”, cioè che non appartengono a serie generate da altri numeri di Lychrel sono, oltre a 196, 879 e 1997.
La maggioranza dei numeri interi sottoposti al procedimento di reiterazione “reverse and add”, giungono molto rapidamente ad un palindromo. Considerando i numeri inferiori a 10.000, l’80% dei numeri giunge ad un palindromo in 4 stadi o meno ed il 90% in 7 stadi o meno.
Interessante il caso del numero 89 che giunge ad un palindromo in 24 stadi.
Passando a numeri più grandi abbiamo abbiamo 147.996 che impiega 58 stadi per giungere ad un palindromo e poi 150.296 (64 stadi), 1.000.689 (78 stadi), 1.005.774 (79 stadi), etc…. fino a giungere a 1.005.499.526 che impiega ben 109 stadi per giungere ad un numero palindromo di 53 cifre!
Recentemente è stato scoperto che il numero 1.186.060.307.891.929.990, dopo 261 iterazioni giunge ad un palindromo di 119 cifre!
Avremo forse un giorno la sorpresa di scoprire che anche il “mitico” 196 giunge anch’esso ad un palindromo enorme alla fine del procedimento?
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