10² + 11² + 12² = 13² + 14² = 365

Fin dall’antichità è nota questa affascinante relazione:

10² + 11² + 12²  =  13² + 14²  = 365

Che possiamo verificare:

10² + 11² + 12²  =  100 + 121 + 144  =  365

13² + 14²  =  169 + 196  =  365

In realtà queste eguaglianze tra somme di quadrati esatti consecutivi sono rare, ma infinite. Per costruirle, si fissi un numero intero positivo N. Il primo termine sarà N*(2N + 1) ed il primo membro della relazione sarà formato da (N + 1) termini, mentre il secondo membro sarà formato da N termini.
Per N = 1, otteniamo la semplice eguaglianza:

3² + 4²  =  5²

Mentre, per N = 2, otteniamo la relazione di cui abbiamo parlato all’inizio:

10² + 11² + 12²  =  13² + 14²  = 365

Nella quale  10 = 2*(2*2 + 1), i termini a primo membro sono (2+1) e quelli a secondo membro sono 2.

Riportiamo le successive relazioni che si ottengono per N uguale rispettivamente a 3, 4, 5 e 6:

21² + 22² + 23² + 24²  =  25² + 26² + 27²  =  2030

36² + 37² + 38² + 39² + 40²  =  41² + 42² + 43² + 44² = 7230

55² + 56² + 57² + 58² + 59² + 60²  =  61² + 62² + 63² + 64² + 65²  =  19855

78² + 79² + 80² + 81² + 82² + 83² + 84²  =  85² + 86² + 87² + 88² + 89² + 90²  =  45955

In queste uguaglianze avremo, rispettivamente:

21  =  3*(2*3 + 1)
36  =  4*(2*4 + 1)
55  =  5*(2*5 + 1)
78  =  6*(2*6 + 1)