NUMERI ESPRIMIBILI IN 2 MODI DIVERSI COME SOMMA DI 2 CUBI

Un giorno il matematico Hardy (1877 – 1947) prese un taxi per andare a trovare l’amico matematico Ramanujan (1887 – 1920). Il numero del taxi era 1729 ed il repentino commento di Ramanujan fu: “E’ il più piccolo numero esprimibile come somma di 2 cubi positivi in 2 modi diversi!”.
Infatti:

1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³

Le successive “quaterne di Ramanujan” sono:

4104    =   2³ + 16³    =  9³ + 15³

13832  =   2³ + 24³    =  18³ + 20³

20683  =   10³ + 27³  =  19³ + 24³

32832  =   4³ + 32³    =  18³ + 30³

39312  =   2³ + 34³    =  15³ + 33³

40033  =   9³ + 34³    =  16³ + 33³

46683  =   3³ + 36³   =   27³ + 30³

64232  =   17³ + 39³ =   26³ + 36³

65728  =   12³ + 40³ =   31³ + 33³

Etc……

Il più piccolo numero esprimibile in 3 modi diversi come somma di 2 cubi positivi è:

87539319  =  167³ + 436³  =  228³ + 423³  =  255³ + 414³

Sempre a causa dell’aneddoto precedente, vengono chiamati numeri taxicab i più piccoli numeri naturali che si possono esprimere in n modi diversi come somma di due cubi positivi.
I primi 3 numeri taxicab saranno dunque:

t(1) = 2 = 1³ + 1³

t(2) = 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³

t(3) = 87.539.319  =  167³ + 436³  =  228³ + 423³  =  255³ + 414³

Oltre a questi tre, finora sono noti soltanto t(4) e t(5), cioè: 6.963.472.309.248 e  48.988.659.276.962.496 che sono i più piccoli numeri esprimibili rispettivamente in 4 e 5 modi come somma di 2 cubi.