EQUAZIONI (primo e secondo grado)

“Tutto ciò che non si condensa in un’equazione non è scienza” (A. Einstein).

EQUAZIONE DI PRIMO GRADO:
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Un’equazione è una espressione simbolica utilizzata per risolvere un problema.
Supponiamo di dover risolvere questo semplice problema:
“Qual è quel numero il cui triplo, aumentato di 2, è 23 ?”.
Il numero che non conosco viene chiamato “incognita” e viene usualmente indicato con la lettera x, per cui il nostro problema, tradotto in simboli, diventa:
3x + 2 = 23.
Questa semplice equazione è un’equazione di primo grado in quanto il grado di un’equazione è il massimo esponente con cui compare l’incognita x e, nel nostro caso, tale esponente è 1.
Tutto ciò che appare a sinistra del simbolo dell’eguale si chiama “primo membro” (nel nostro caso 3x + 2) e tutto ciò che appare a destra del simbolo dell’eguale si chiama “secondo membro” (nel nostro caso 23).
Per risolvere questa equazione si applicano due semplici regolette che derivano dalle proprietà delle identità:
1)    Per spostare un termine da un membro all’altro gli si deve cambiare il segno (+ o -).
2)    L’espressione  ax = b  è equivalente all’espressione  x = b/a
Per risolvere un’equazione di primo grado bisogna innanzitutto raggruppare a primo membro tutti i termini con la x ed a secondo membro tutti i termini senza la x.
Risolviamo dunque la nostra semplice equazione:
3x + 2  =  23
Applichiamo la regola 1):
3x  =  23 – 2
3x  =  21
Applichiamo adesso la regola 2):
3x  =  21
x    =  21/3
x    =  7
Dunque il numero che cercavamo è 7, infatti il suo triplo è 21 e, aumentato di 2,  fa 23.

EQUAZIONE DI SECONDO GRADO:
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Il Teorema Fondamentale dell’Algebra asserisce che un’equazione ha un numero di soluzioni uguale al suo grado. Dunque, come abbiamo visto nell’esempio precedente, l’equazione di primo grado ha una sola soluzione. L’equazione di secondo grado avrà pertanto due soluzioni.
La formula generale di un’equazione di secondo grado è la seguente:
ax² + bx + c = 0  (con a diverso da zero, ovviamente).
Per risolvere questa equazione si usa una formula risolutiva, ma prima di descriverla, vediamo come si risolvono due casi di equazioni di secondo grado “incomplete”:
1) Equazione spuria:
ax² + bx = 0
Si mette in evidenza la x:
x(ax + b) = 0
Questo è il prodotto di x per (ax + b) e, poiché deve essere zero, uno dei due termini deve essere zero, pertanto una delle due soluzioni dell’equazione sarà x = 0.
Per trovare l’altra soluzione, dobbiamo risolvere l’equazione di primo grado:
ax + b = 0
ax = -b
x = -b/a.
In definitiva le due soluzioni saranno:
x = 0
x = -b/a
2) Equazione pura:
ax² + c = 0
Da questo momento in poi, col simbolo RAD, intenderemo la radice quadrata.
Notiamo innanzitutto che se, per esempio, x² = 25, allora x può essere sia +5 che -5, infatti:
(+5)² = (+5)*(+5) = 25
(-5)² = (-5)*(-5) = 25
Risolviamo ora l’equazione:
ax² + c = 0
ax² = -c
x² = -c/a
x = +/- RAD(-c/a)
Dunque le due soluzioni dell’equazione pura saranno:
x = +RAD(-c/a) ed x = – RAD(c/a)

Se invece siamo di fronte all’equazione completa:
ax² + bx + c = 0
Dobbiamo utilizzare la seguente formula risolutiva:

x  =  [-b  +/-  RAD(b² – 4ac)]/(2a)

Cioè le due soluzioni saranno:
x1  =  [-b – RAD(b² – 4ac)]/(2a)
x2  =  [-b + RAD(b² – 4ac)]/(2a)

Facciamo subito un esempio:
Si voglia risolvere l’equazione di secondo grado:
x² – 11x + 28 = 0
avremo:
a = 1;  b = -11;  c = 28
Applichiamo la formula risolutiva:
x = [-b  +/-  RAD(b² – 4ac)]/(2a)
x = [-(-11)  +/-  RAD((-11)² – 4*1*28]/(2*1)
x = [11  +/-  RAD(121 – 112)]/2
x = [11  +/-  RAD(9)]/2
x = (11  +/-  3)/2
Calcoliamo separatamente le due soluzioni:
x1 = (11-3)/2 = 8/2 = 4
x2 = (11+3)/2 = 14/2 = 7

In un’equazione di secondo grado, l’espressione (b² – 4ac) che si trova sotto radice viene chiamata discriminante dell’equazione o, più usualmente, delta e viene indicata con la lettera maiuscola dell’alfabeto greco Δ.
Se il delta è maggior zero avremo due soluzioni reali e distinte. Se il delta è uguale a zero avremo due soluzioni reali e coincidenti. Se il delta è minore di zero avremo due soluzioni complesse coniugate.
In quest’ultimo caso bisogna introdurre la teoria dei numeri immaginari (radici quadrate dei numeri negativi) per cui, a livelli più elementari di trattazione, si dice che in questo caso l’equazione non ha soluzioni reali e si chiude il discorso….
Nel nostro esempio il delta era 9 (maggiore di zero) per cui abbiamo ottenuto due soluzioni reali e distinte (4 e 7).

Le equazioni di secondo grado venivano già studiate e risolte in casi particolari dai matematici indiani nell’VIII° secolo avanti Cristo e dai matematici Babilonesi nel IV° secolo avanti Cristo, ma la formula risolutiva fu scoperta dai matematici indiani solo nel 200 dopo Cristo.
Come si è arrivati a questa formula? Con questi semplici passaggi:
ax² + bx + c = 0
ax² + bx = -c
Moltiplichiamo per 4a entrambi i membri:
4a²x² + 4abx = -4ac
Aggiungiamo b² ad ambo i membri:
4a²x² + 4abx + b² = b² – 4ac
Ora notiamo che l’espressione (4a²x² + 4abx + b²) altri non è che il prodotto notevole (2ax + b)², per cui possiamo scrivere:
(2ax + b)² = b² – 4ac
Cioè:
2ax + b =  +/-  RAD(b² – 4ac)
2ax = -b  +/-  RAD(b² – 4ac)
x  =  [-b  +/-  RAD(b² – 4ac)]/(2a)
Che è la nostra formula risolutiva.

Per costruire un’equazione di secondo grado, note le radici m ed n, si deve esplicitare il prodotto:
(x – m)*(x – n)
Cioè:
(x – m)*(x – n) = 0
x² – mx –nx + mn = 0
x² -(m + n)x + mn = 0
Confrontando questa forma dell’equazione di secondo grado con la forma canonica:
ax² + bx + c = 0
Notiamo che, se a = 1, allora b sarà la somma delle radici col segno cambiato e c sarà il loro prodotto.
Nel nostro esempio le due radici dell’equazione erano 4 e 7 e b valeva -11 e c valeva 28, dunque rispettivamente somma cambiata di segno e prodotto delle radici.

Anche per l’equazione di terzo grado ax³ + bx² + cx + d = 0 esiste una formula risolutiva. Lo scopritore “ufficiale” di tale formula fu Girolamo Cardano nel XVI° secolo, ma pare che la formula gli fosse stata comunicata dal matematico Niccolò Fontana (detto Tartaglia). Circolava poi una voce, probabilmente infondata, che Tartaglia avesse appreso la formula dal matematico Scipione dal Ferro.
La formula risolutiva per l’equazione quartica fu invece trovata da un discepolo del Cardano, Lodovico Ferrari.