PROBLEMI IRRISOLTI NELLA TEORIA DEI NUMERI

Alla data in cui scriviamo, sono ancora molti i problemi irrisolti nella Teoria di Numeri. Ne elenchiamo qualcuno:

CONGETTURA DI GOLDBACH:
“Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi”.

Per esempio: 8 = 3 + 5 ;   18 = 5 + 13 = 7 + 11.

La Congettura è stata testata per numeri enormi, ma finora nessuno è riuscito a darne una dimostrazione.

ESISTENZA DI NUMERI PERFETTI DISPARI:
Un numero si dice perfetto quando è uguale alla somma di tutti i suoi divisori escluso se stesso.

Ad esempio il numero 6 è divisibile per 1,2,3 e 1+2+3 = 6.

Il numero 28 è divisibile per 1,2,4,7,14 e 1+2+4+7+14 = 28.

I primi numeri perfetti sono: 6, 28, 496, 8928, 33.550.336, 8.589.869.056 ……

Attualmente si conoscono 47 numeri perfetti e sono tutti pari. Nessuno è mai riuscito a dimostrare che non esistono numeri perfetti dispari.

CONGETTURA DEI NUMERI PRIMI GEMELLI:
Si definiscono numeri primi gemelli quelle coppie di numeri tali che p e p+2 siano entrambi numeri primi. Le prime coppie di numeri primi gemelli sono:

(3 – 5),  (5 – 7),  (11 – 13),  (17 – 19),  (29 – 31),  (41 – 43),  (59 – 61),  (71 – 73) ……

Sono state trovate coppie di numeri primi gemelli enormi, ma nessuno è mai riuscito a dimostrare che il numero di tali coppie è infinito.

CONGETTURA DI COLLATZ:
Una serie di Collatz si costruisce in questo modo:

1) Si scelga un numero intero qualsiasi.
2) Se è pari lo si divida per 2.
3) Se è dispari lo si moltiplichi per 3 e si aggiunga 1.
4) Si ripeta l’operazione sul numero ottenuto.

La congettura afferma che tutte le serie di Collatz giungano alla fine al numero 1.
Ad edempio:

10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

La congettura non è mai stata dimostrata, ma, anche in questo caso, risulta sempre verificata, per quanto grande sia il numero di partenza.
Ecco un altro esempio:

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

In questo esempio la serie converge ad 1 dopo 111 termini.

NUMERI DI SOPHIE GERMAIN:
Un numero primo di Sophie Germain è un numero primo p tale che 2p + 1 sia anch’esso un numero primo.
Per esempio 29 è un numero di Sophie Germain perchè:

2 x 29 + 1  =  59,  anch’esso primo.

Non si sa se vi siano infiniti numeri primi di Sophie Germain.

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Ingegnere Chimico
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